15) Формула Планка: Для того, что бы найти вид функции U(w, T) Планку пришлось сделать предположение, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии – квантов, величина которых пропорц. частоте излучения:

Коэффициент пропорциональности в последствии получил название постоянной Планка, а

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана (дискретное распределение): (19)

где N_i – число частиц, находящихся в состоянии с энергией ε_i , А - коэффициент пропорциональности, который удовлетворяет нормировочному условию:

где N –полное число частиц в системе. Отсюда мы найдём А и подставим в (19):

1 2

Тогда для вероятности получим выражение 2

Среднее значение энергии колебания можно получить по известной формуле:

Чтобы произвести вычисления, обозначим и допустим, что х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений, тогда выражение можно написать в виде

Здесь мы воспользовались формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии с показателем . Заменив , получим окончательное выражение для средней энергии частоты ω: (24)

Из формулы Релея-Джинса:

Отсюда (25)

и

Воспользовавшись соотношением

Найдём, что: (26)

Формулы (25) и (26) носят название формулы Планка. Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот.

1.Замечание. Для того, что бы сделать переход от дискретного случая к непрерывному устремим . Таким образом, мы сделаем предельные переход:

Формула (24) преобразуется к виду:

2.Замечание. Функция (26) при условии переход. в формулу Релея – Джинса:

16) Вывод зак-а Стефана – Больцмана из ф-лы Планка.

Для энергетической светимости абсолютно черного тела, с учетом формулы Планка, получается выражение

Здесь мы сделали замену переменных . Интеграл в формуле может быть вычислен, он равен: . Подставив это значение в формулу для R^* , мы придём к закону Стефана – Больцмана:

Подстановка в эту формулу значений величин, даёт хорошо согласующееся с экспериментом значение σ. Также хорошо совпадает с экспериментальным значением величина постоянной Вина. Таким образом, формула Планка даёт исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

18) Вывод обобщенной формулы Бальмера:

Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона и энергии взаимодействия электрона с ядром: (14)

Уравнение движения электрона имеет вид

Отсюда выражаем m_ev² и подставляем в (14)

Подставив сюда значение

получим выражение для дозволенных значений внутренней энергии атома в системе СИ:

При переходе атома водорода Z=1 из состояния n в состояние m излучается фотон (в СГС):

Частота испущенного кванта равна

Мы пришли к обобщённой формуле Бальмера, причем для постоянной Ридберга получилось значение которое прекрасно согласуется с экспериментальным

17) Элементарная боровская теория водородного атома:

Бор исходил из постулата Планка, согласно которому осуществ. только такие состояния гармонического осциллятора, энергия которых равна

Пусть q – координата осциллятора, а р – импульс. Полная энергия осциллятора имеет вид

Отсюда (4)

Координатную плоскость p, q называют фазовой плоскостью, а кривую p(q) на этой плоскости – фазовой траекторией. Из (4) следует, что фазовая траектория гармонического осциллятора является эллипсом. Полуоси эллипса равны

Площадь эллипса равна произведению полуосей, умноженному на π:

Площадь эллипса можно также представить в виде

Из сравнения выраж. можно получить правило квантования (8)

Полученное правило Бор распространил и на другие механические системы. Для электрона движущегося по круговой орбите обобщённой координатой будет азимутальный угол φ, а обобщённой скоростью . При вращательном движении роль массы играет момент инерции . Подставив в выражение (8) получим:

Таким образом, роль обобщённого импульса будет играть момент импульса

В центральном поле сил момент импульса сохраняется (10.1)

Окончательно

Согласно Бору из всех орбит электрона осуществляются только те, для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка ,

здесь n называется главным квантовым числом.

Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. То есть случай, когда из атома удалены все остальные электроны. При Z=1 это будет соответствовать атому водорода.

Уравнение движения электрона имеет вид

Отсюда, используя (10.1), получим

В системе СГС константа k равна 1.

Радиус первой орбиты водородного атома называется боровским радиусом.

Его значение равно

0,529А^о.

19) Сх. Уров. Энергии и спектр-ные серии атома водорода:

Все элементы в сильно разогретом состоянии могут испускать свет, который можно разложить на составляющие его волны с помощью спектрометра.

Такие спектры называются спектрами испускания. Спектр испускания водорода оказался не сплошным, как у солнечного света, а линейчатым. Такой характер имеют и спектры других атомов.

Изучение атомных спектров послужило ключом к познанию строения атомов. Прежде всего, было замечено, что линии в спектрах объединяются в серии линий.

Бальмер (1885) обнаружил, что имеется закономерность:

,или частот

где - постоянная Ридберга. Эта формула называется формулой Бальмера, а соответствующая серия спектральных линий водородного атома серией Бальмера. Позже, с совершенствованием спектрометров, были открыты серии линий в ультрафиолетовой области (серия Лаймана) и в инфракрасной области (серии Брэккета и Пфунда).

Частоты всех линий можно представить одной формулой:

Эта формула называется обобщённой формулой Бальмера.

При возрастании n частота линий в каждой серии стремиться к предельному значению которое называется границей серии и обозначается .Возьмём ряд значений выражения : Частота любой линии серии водорода может быть представлена в виде разности двух чисел ряда Эти числа называются спектральн. термами или просто термами.

20) Опыты по рассеянию a – частиц: Резерфорд и его сотрудники изучали строение атома, бомбардируя его а - частицами. Опыт осуществлялся следующим образом. Узкий пучок а - частиц, испускаемый радиоактивным веществом, падал на тонкую золотую фольгу. При прохождении через фольгу а - частицы отклонялись на различные углы θ от первоначального направления. Рассеянные частицы ударялись об экран, покрытый сернистым цинком, и вызывали сцинтилляции (вспышки света), которые можно было наблюдать в микроскоп. Экран и микроскоп можно было вращать и устанавливать под любым углом θ. Весь прибор находился в вакууме, что бы избежать столкновений а - частиц с молекулами воздуха. Так как считалось, что атом устроен, так как диктует модель Томсона, то ожидалось, что частицы будут рассеиваться на малые углы, однако совершенно неожиданно было обнаружено, что имеется очень небольшое количество а - частиц которые рассеиваются на очень большие углы (до 180^о).

Резерфорд пришёл к выводу, что столь сильное отклонение а - частиц возможно, только в случае, если внутри атома имеется сильное электрическое поле создаваемое массой много больше массы а - частицы и эта масса сосредоточена в очень малом объёме. Основываясь на этих выводах Резерфорд в 1911г. предложил ядерную модель атома. Согласно модели Резерфорда атом представляет собой тяжелое положительное ядро с зарядом Ze, имеющее размеры порядка 10^-12 см, а вокруг ядра расположены Z электронов. Почти вся масса атома расположена в его ядре.

Формула Резерфорда: При взаимодействии а - частиц с атомом основной вклад в рассеяние даёт ядро атома, так как масса электрона на 4 порядка меньше массы а- частицы. Когда частица пролетает вблизи ядра, на неё действует кулоновская сила отталкивания. Траектория движения а - частицы представляет собой гиперболу. Угол θ, между асимптотами гиперболы, определяет отклонение а - частицы от первоначального направления. Расстояние b от ядра до первоначального направления полёта а - частицы называется прицельным параметром. Чем ближе пролетает а - частица к ядру тем сильнее она отклоняется. Связь b(θ):

Резерфорд вывел формулу для вероят. рассеяния а - частиц:

Это выражение также называется условием нормировки пси-функции.В случае стационарного силового поля пси-функция имеет вид . Соответственно

Плотность вероятности от времени не зависит. По этой причине такие состояния и были названы стационарными.

1. Таким образом, выяснилось главное принципиальное различие между волновыми функциями в классической и квантовой физике. В классической физике квадрат волновой функции пропорционален интенсивности волны, а в квантовой плотности вероятности. И никаким предельным переходом это различие нельзя преодолеть.

2.Из смысла пси-функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию её движения.

Основные свойства операторов и пси-функции:

Принцип суперпозиции : Если квантовомеханическая система может находиться в различных состояниях и , которым соответствуют собственные значения и , то существует состояние системы, описываемое функцией

Здесь С₁ и С₂ комплексные числа.Причем в этом состоянии величина уже не будет иметь определённого значения – при измерениях будут получаться либо , либо . Вероятности появления значений этих величин равны квадратам модулей коэффициентов С₁ и С₂.

Совокупность собственных функций любой физической величины образует полную систему. Это значит, что пси-функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям этой величины:

Число слагаемых равняется числу различных собственных функций величины .Квадраты модулей коэффициентов C_n дают вероятность того, что при измерениях производимых над системой, находящейся в состоянии , будут получены соответствующие значения величины . Сумма всех таких вероятностей должна быть равна единице: Для нормированных функций это

здесь -поток частиц рассеиваемых в пределах углов от до , N – полный поток частиц в пучке; n – число атомов в единице объёма, а – толщина фольги.

21) Частица в одномер. бесконечно глубокой потенц. яме:Найдём собственные значения и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме .Нарисовать глубокую яму.

Запишем уравнение Шрёдингера от одной координаты:

Так как за пределы ямы частица попасть не может, то пси-функция вне ямы равна нулю, а из условия непрерывности она равна нулю и на границах ямы:

Это и есть условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (4). В яме , но равна нулю потенциальная энергия . Следовательно, в яме уравнение имеет вид (27)

Введя обозн. придем к хорошо известному уравнению из теории колебаний:

Его решение имеет вид (29)

Из условия получим ,

что . Из второго условия , получим

Подставив k в уравнение (26) найдём собственные значения энергии частицы:

Спектр оказался дискретным, см. рис.3. Подставив α и k в решение получим собственные функции задачи:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки:

Откуда . Таким образом, собственные функции имеют вид:

Графики собственных функций изображены на рис.4.

Расстояние между соседними уровнями будет равно:

Если взять массу электрона (10^-27г) и яму шириной порядка 10 см, то. То есть уровни будут столь густо расположены, что будут восприниматься как сплошной спектр. Если же взять размер ямы порядка размеров атома (10^-8см), то и дискретность уровней будет весьма заметной

22) Гипотеза де-Бройля: В 1924г. Луи де-Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм свойств света имеет универсальное значение. Он предположил, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами обладают и волновыми. Если фотон обладает энергией и импульсом , то по этим же формулам электрон имеет длину волны (18)

и частотой (19).

Так как энергия всегда определяется с точностью до произвольной постоянной следовательно, дебройлевская частота является принципиально ненаблюдаемой величиной, в отличие от дебройлевской длины волны.

С частотой и волновым числом связаны фазовая и групповая скорости:

Умножив числитель и знаменатель на , получим

Таким образом, групповая скорость равна скорости частицы и является принципиально наблюдаемой величиной, в отличие от фазовой скорости – из-за неоднозначности Е.

Фазовую скорость дебройлевских волн можно представить следующим образом

Экспериментальная проверка гипотезы де-Бройля

Проверим, не противоречит ли гипотеза де-Бройля макроскопической физике. Дебройлевская длина волны электрона при К=150эВ.

Такой же порядок имеет период кристаллической решётки. Поэтому, как и в случае с рентгеновскими лучами для электронов должна наблюдаться дифракция.

Томсон и независимо от него Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. В дальнейшем в опытах Штерна было доказано, что дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных пучков. Было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.

23) Смысл пси-функции: Шрёдингер сопоставил микрочастице комплексную функцию координат и времени. Решая уравнение Шрёдингера можно найти вид волновой функции. Сама по себе функция описывает состояние частицы или системы частиц.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объёма dV: (1)

А – коэффициент пропорциональности, или иначе нормировочная константа.

Интеграл от выражения (1), взятый по всему объёму, где находится частица, должен равняться единице:

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в объёме V. А следовательно квадрат пси-функции даёт плотность вероятности нахождения частицы в данном физически малом объёме dV.Пси-функция допускает умножение на отличное от нуля произвольное комплексное число С, причём и описывают одно и тоже состояние частицы. Это обстоятельство позволяет выбрать пси-функцию так, что бы она удовлетворяла условию

условие всегда выполняется

24) Собств. мех. и маг. момент электрона. Магнетон Бора:Исследование спектров щелочных металлов показало, что каждая линия этих спектров является двойной (дублет).

Структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты, называется тонкой структурой. Спектральные линии, состоящие из нескольких компонент, называются мультиплетами. Тонкая структура имеется не только у атомов щелочных металлов, но и у других элементов. Число компонент в мультиплете равно двум (дублеты), трём (триплеты), четырём (квартеты), пяти (квинтеты) и т. д.. Однако, в частном случае даже с учетом тонкой структуры линии могут быть одиночными (синглеты). Расщепление спектральных линий связано с расщеплением энергетических уровней. Для объяснения этого явления Гаудсмит и Уленбек выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса. Этот собственный момент был назван спин. По современным представлениям спин считается внутренним свойством, присущим электрону, подобно заряду и массе.

Отношение магнитного момента к механическому должно иметь значение (устан-но опытным путём):

Величина собственного момента импульса электрона определяется по общим законам квантовой механики и называется спиновым квантовым числом s, равным 1/2 :

Проекция спина на заданное направление может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на :

Тогда собственное значение магнитного момента электрона равно

где величина называется магнетоном Бора. Знак минус указывает на то, что механический М_s и магнитный момент направлены в противоположные стороны. Проекция собственного магнитного момента электрона на заданное направление может иметь следующие значения:

Минус получ, когда и наоборот плюс когда

Принято говорить, что спин электрона (подразумевая на самом деле проекцию) равен ½ в единицах h , а собственный магнитный момент равен одному магнетону Бора.