атомка-1 / Шпоры по атомке (50,51,53-58,64)

57)Энергия колебаний кристаллической решётки в классическом и квантовом представлении. Согласно классическим представлениям твердое тело можно рассматривать как систему N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них приходится в среднем энергия kT (по kT/2 в виде кинетической и kT/2 в виде потенциальной). Тогда внутренняя энергия одного моля атомов равна(11)Отсюда молярная теплоемкость(12)

Это закон Дюлонга и Пти для химически простых твердых тел. Он хорошо выполняется только при сравнительно высоких температурах. Эксперименты показывают, что при низких температурах теплоемкость убывает, стремясь к нулю при по закону .Квантовое представление:

Выражение для внутренней энергии одного моля будет равно

(18)Продифференцировав по температуре, найдём теплоёмкость,(19) здесь . Это выражение называется формулой Эйнштейна. При высоких температурах она переходит в закон Дюлонга и Пти, а при низких температурах можно пренебречь единицей в знаме-теле: и (20)при . Ход кривой был в удовлетворительном согласии с опытом, хотя T³ .

54)Теплоёмкость кристаллической решётки. Модель Дебая. Фононы. В этой модели кристаллическая решётка рассматривается как система связанных осцилляторов колеблющихся с различными частотами. Следовательно, задача сводится к нахождению спектра этих частот. Однако, это сложная задача, а Дебай решил упростить её заметив, что при низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят колебания низких частот. Их мы сможем оценить. Итак, оказалось, что кристалл заполнен стоячими упругими волнами – (квантовыми осцилляторами) подобно тому как это было с трёхмерным резонатором. Однако эти упругие колебания имеют квантовый характер, проявляющийся в том, что имеется наименьшая порция . Это позволяет сопоставить упругой волне с частотой квазичастицу – фонон, распространяющуюся со скоростью (скорость упругой волны). В твердых телах могут распространяться три волны: продольная и две поперечных со взаимно ортогональными поляризациями. Их скорости несколько отличаются друг от друга, поэтому под подразумевается их средняя скорость. В соответствии с наличием трёх волн в выражении (8) коэффициент . Энергия фононного газа в интервале частот равна произведению энергии фонона на количество фононов в данном состоянии.Запишем выражение через и :

(23)-верхняя граница возможных частот фононов. , где n_o – концентрация атомов. Отметим, что для упругой волны соответствующей данной частоте длина волны оказывается равной(25)Учитывая (24) перепишем выражение для энергии фононного газа в виде

(26)Теплоемкость кристалла в модели Дебая(27)Введём характеристическую температуру Дебая , определяемую условием(28)и переменную . Тогда выражение: (27) примет вид:

(29)Это выражение (29) называют формулой Дебая.

Температура Дебая указывает для каждого твердого тела область температур , где становится существенным квантование энергии колебаний.

1. При или что тоже , . Тогда интеграл будет представлять некоторое число и (30) Эту формулу называют законом T³ Дебая. Именно такую зависимость наблюдают в эксперименте.

2. При высоких температурах выражение (26)

Для моля кристалла заменим n_o на N_A, и получим С=3R.

Замечание. Полученные формулы применимы для химически простых веществ с простой кристаллической решёткой. У более сложных кристаллов спектр частот более сложный и формула Дебая оказывается неприменимой.

50)Эффект Штарка. Это расщепление энергетических уровней при действии на атомы электрополя. Грубо говоря, это тот же эффект Зеемана, только при электрополе (а там магнитное) – про Зеемана смотри 48) билет 

55) Распределение Бозе-Эйнштейна. Фононы. Все микрочастицы можно разделить на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:

1.частицы с полуцелым спином, их называют фермионы; они подчиняются статистике Ферми - Дирака.

2.частицы с целым (в том числе нулевым) спином – бозоны; они подчиняются статистике Бозе -Эйнштейна.

В статистике Больцмана даже тождественные частицы считаются различимыми. В каждом квантовом состоянии, согласно принципу запрета Паули, может находиться в статистике Бозе – Эйнштейна любое число частиц.Из таблицы видно, что для статистики Больцмана всего девять микросостояний и вероятность каждого из них 1/9. Частицы а и b для статистики Больцмана принципиально различимы и поэтому обозначены буквами, а в квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака неразличимы и обозначены кружочками.

В статистике Бозе-Эйнштейна шесть возможных микросостояний и вероятность каждого 1/6. В статистике Ферми-Дирака три микросостояния и вероятность 1/3. Для фермионов последние три состояния из статистики Бозе-Эйнштейна невозможны вследствие принципа Паули. Волновые функции бозонов и фермионовЕсли имеется N частиц, тогда имеются всего две возможности для волновых функций – волновые функции либо симметричны (не меняется при перестановке частиц), либо антисимметричны (меняют знак при перестановке). Свойство описываться симметричными или антисимметричными волновыми функциями также зависит от рода частиц: фермионы описываются антисимметричными функциями, а бозоны симметричными. Выпишем волновые функции для двух частиц. Для бозонов:

(1)здесь перед [ ] нормировочная константа, что легко проверить, так как все функции ортонормированны. Индексы и волновых функций являются знаками состояний, в которых находятся частицы. Фазовые ячейки

Для описания состояния системы частиц рассматривают так называемое шестимерное фазовое пространство с координатами: . Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве частицы. При этом нужно учесть соотношение неопределённостей .Состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует фазовая ячейка, объём которой равен

(3)Распределение по таким ячейкам является предельно подробным квантовым описанием состояния частицы. Квантовые распределения. Они представляют собой функции (или функции заполнения ячеек), которые определяют средние числа частиц в одной фазовой ячейке энергией :,(5)для бозонов. Здесь - химический потенциал (некоторая характерная энергия, которую можно найти из условия нормировки распределения: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу частиц системы).1.Если <<1, (малые числа заполнения) то в знаменателе обоих распределений можно пренебречь единицей, и формулы переходят в (6)распределение Больцмана. Значит классическое распределение Больцмана справедливо лишь при условии малых «чисел заполнения» фазовых ячеек. Важно заметить, что речь идёт о совпадении формул, в то время как поведение частиц не изменяется.2.В макросистеме (большое число частиц) уровни энергии расположены очень плотно, поэтому индекс i у энергии можно опустить.3.Для бозонов значения не могут быть положительными, иначе при окажется, что , чего быть не может.

4.У макросистем с переменным числом бозонов (например, фотонов) , и формула (5) имеет вид:

Фононы. Идея фонона оказалась плодотворной, она облегчает как математические преобразования, так и физическое понимание. Фонон характеризуется импульсом и энергией подобно фотону: (21) Подобно тому, как квантование электромагнитных волн приводит к фотонам, так квантование упругих волн приводит к фононам. В дальнейшем выяснилось, что фонону следует приписать спин равный нулю. Значит фононы бозе-частицы и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Фононы могут рождаться и исчезать, при этом число их не сохраняется (оно зависти от температуры), поэтому для фононного газа химический потенциал равен нулю и функция заполнения определяется Колебательную энергию кристаллической решётки можно рассматривать как энергию фононного газа.

53)Теплоемкость кристаллической решётки. Модель Эйнштейна.В модели Эйнштейна кристалл рассматривался как система N квантовых гармонических осцилляторов. Колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой . Энергия такого осциллятора. Средняя энергия частоты ω:

Выражение для внутренней энергии одного моля будет равно

(18)Продифференцировав по температуре, найдём теплоёмкость,(19) здесь . Это выражение называется формулой Эйнштейна. При высоких температурах она переходит в закон Дюлонга и Пти, а при низких температурах можно пренебречь единицей в знаме-теле: и (20)при . Ход кривой был в удовлетворительном согласии с опытом, хотя T³ . Это был значительный успех квантовой теории. Расхождение связано с упрощением модели твердого тела, т.е. с предположением, что все атомы колеблются независимо и с одной частотой.

56)Распределение Ферми-Дирака. Все микрочастицы можно разделить на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:

1.частицы с полуцелым спином, их называют фермионы; они подчиняются статистике Ферми - Дирака.

2.частицы с целым (в том числе нулевым) спином – бозоны; они подчиняются статистике Бозе -Эйнштейна.

В статистике Больцмана даже тождественные частицы считаются различимыми. В квантовых же статистика, наоборот, считается, что тождественные частицы принципиально неразличимы. В статистике Ферми - Дирака в каждом квантовом состоянии, согласно принципу запрета Паули, может находиться не более одной частицы

Из таблицы видно, что для статистики Больцмана всего девять микросостояний и вероятность каждого из них 1/9. Частицы а и b для статистики Больцмана принципиально различимы и поэтому обозначены буквами, а в квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака неразличимы и обозначены кружочками.В статистике Бозе-Эйнштейна шесть возможных микросостояний и вероятность каждого 1/6. В статистике Ферми-Дирака три микросостояния и вероятность 1/3. Для фермионов последние три состояния из статистики Бозе-Эйнштейна невозможны вследствие принципа Паули. Волновые функции фермионов. Если имеется N частиц то возникает вопрос, каким образом может быть составлена волновая функция системы частиц.

Имеются всего две возможности для волновых функций – волновые функции либо симметричны (не меняется при перестановке частиц), либо антисимметричны (меняют знак при перестановке). Свойство описываться симметричными или антисимметричными волновыми функциями также зависит от рода частиц: фермионы описываются антисимметричными функциями, а бозоны симметричными. Выпишем волновые функции для двух частиц Для фермионов:

(2)Отсюда вытекает, что если индексы и волновых функций равны, то есть частицы находятся в одинаковых состояниях, то общая волновая функция равна нулю! Что прекрасно согласуется с принципом Паули.Фазовые ячейки. Для описания состояния системы частиц рассматривают так называемое шестимерное фазовое пространство с координатами: . Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве частицы. При этом нужно учесть соотношение неопределённостей .Состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует фазовая ячейка, объём которой равен

(3)Распределение по таким ячейкам является предельно подробным квантовым описанием состояния частицы.

Они представляют собой функции (или функции заполнения ячеек), которые определяют средние числа частиц в одной фазовой ячейке энергией (4): для фермионов. Здесь - химический потенциал (некоторая характерная энергия, которую можно найти из условия нормировки распределения: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу частиц системы). 1.Для фермионов функция не может быть больше единицы, а для бозонов её значение может быть любым (>0).2Если <<1, (малые числа заполнения) то в знаменателе обоих распределений можно пренебречь единицей, и формулы переходят в (6)распределение Больцмана. Значит классическое распреде-ние Больцмана: справедливо лишь при условии малых «чисел заполнения» фазовых ячеек. Важно заметить, что речь идёт о совпадении формул, в то время как поведение частиц не изменяется. Теплоёмкость при низких температурах. Учитывая формулу (15) можно найти молярную теплоемкость электронного газа при

(16) А так как , то теплоемкость электронного газа очень мала. Причиной как было сказано выше является, то что лишь небольшая часть электронов участвует в тепловом движении. Таким образом, степени свободы вырожденного газа являются «замороженными». Однако при достаточно низких температурах теплоемкость электронного газа превосходит решёточную, так как последняя уменьш как Т³

51) Спонтанное и вынужденное излучение. Коэффициенты Эйнштейна. Кроме самопроизвольных (спонтанных) переходов с одного энергетического уровня на другой, наблюдаются также вынужденные (или индуцированные) переходы, обусловленные действием на атом падающего на него излучения. Самопроизвольные переходы могут осуществляться только в одном направлении — с более высоких уровней на более низкие, это приводит к спонтанному испусканию атомами фотонов. Вынужденные переходы могут с равной вероятностью происходить как в одном, так и в другом направлении. В случае перехода на более высокий уровень атом поглощает падающее на него излучение. При вынужденном переходе с одного из возбужденных уровней на более низкий энергетический уровень происходит излучение атомом фотона, дополни­тельного к тому фотону, под действием которого произо­шел переход. Это дополнительное излучение называется вынужденным (или индуцированным). Вынужденное излучение обладает весьма важными свойствами. Направление его распространения в точно­сти совпадает с направлением распространения внеш­него излучения, вызвавшего переход. То же самое отно­сится к частоте, фазе и поляризации вынужденного и внешнего излучений. Таким образом, вынужденное и внешнее излучения оказываются когерентными. Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе дей­ствия усилителей и генераторов света, называемых лазерами. Вынужденное излучение является обращением процесса поглощения света. Вероятности обоих процессов, как уже отмечалось, в точности одинаковы. Вероятность Р_пт вынужденного перехода атома в единицу времени с энергетического уровня Е_п на уровень Е_т пропорцио­нальна плотности энергии и_а внешнего электромагнит­ного поля¹), приходящейся на частоту со, соответствую­щую данному переходу w = (Еn— Еm)/h]:

Рпт = В_nmUw Величина В_пт называется коэффициентом Эйн­штейна. Согласно сказанному выше Bmn = Вnm.Если число атомов в состоянии п будет N_nt то коли­чество атомов, совершающих в единицу времени вынуж­денный переход п -> т, окажется равным bN_nm=P_nmN_n = B_nmu_wN_n Аналогично, количество атомов, совершающих в еди­ницу времени вынужденный переход т -> п, будет равно bN_mn = P_mnN_m = B_mnu_aN_m. Основываясь на равновероятности вынужденных пе­реходов п->т и т->п, Эйнштейн дал весьма простой вывод формулы Планка. Равновесие между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов Ni в каждом из состояний остается без измене­ний. Это возможно только в том случае, если число атомов, переходящих в единицу времени из состояния п в состояние т, будет равно числу атомов, совершающих переход в противоположном направлении. Пусть £„>£_т. Тогда переходы т->п смогут происходить только под воздействием излучения. Переходы же п—>т будут со­вершаться как вынужденно, так и спонтанно. Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в единицу вре­мени из состояния п в состояние т через А_пт. Число атомов, совершающих в единицу времени спонтанный переход п -> т, определится выражением: N'_nm = A_nmN_n. В состоянии равновесия должно выполняться условие: N_nm=N_nmN’_nm Подстановка в эту формулу значений [в которых должно быть взято равновесное значение и_w, т. е. и(w, Т)] дает В_тпи(w, T)N_m = B_nmu(w, T)N_n + A_nmN_a, откуда

и (w,T)= AnmNn/( B_mnN_m-B_nmN_n) = Anm/B_nm *(1/(Nm/Nn-1)) (мы воспользовались тем, что B_mn = B_nm). Равновесное распределение атомов по состояниям с различной энергией определяется законом Больцмана согласно которому

(Nm/Nn)=exp{^En-^Em}/^kT = exp(^hw/кТ).Таким образом, мы приходим к формуле U(w,T)=(Anm/Bnm)*(1/(exp(hw/kT)-1)). Для определения коэффициента Anm/Вnт Эйнштейн воспользовался тем, что при малых частотах выраже­ние (80.5) должно переходить в формулу Рэлея — Джин­са. В итоге (Anm/Bnm)=(hw³/²c³).

58) Энергетические зоны в кристаллах. Спектр возможных значений энергии валентных электронов в кристалле распадется на ряд разрешённых и запрещённых зон. Ширина зон не зависит от размеров кристалла, поэтому, чем больше атомов в кристалле тем теснее расположены уровни. Ширина запрещённых зон порядка нескольких эВ. Следовательно, если кристалл содержит 10²³ атомов, то расстояние между уровнями 10^-23эВ. На любом уровне могут находиться два электрона с противоположными спинами. Разрешённую зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, называют валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Более высокие разрешённые зоны будут свободны. Возможны три случая заполнения валентной зоны (рис.4).В случае а) электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, небольшую энергию (порядка 10^-23эВ), чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения составляет при 1К величину порядка 10^-4эВ. Следовательно, при температурах отличных от абсолютного нуля, часть электронов переводится на более высокие уровни.

Поэтому электроны могут ускоряться электрическим полем. Такой схемой энергетических уровней обладает металл. Частичное заполнение валентной зоны наблюдается в том случае, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место перекрывание соседних зон. В случае б) уровни валентной зоны заняты полностью. Для перехода электрона в свободную зону ему необходимо сообщить количество энергии, не меньше ширины запрещённой зоны. Электрическое поле сообщить такую энергию электрону не способно, однако если ширина ΔЕ невелика (доли электронвольт), то энергии теплового движения достаточно, что бы перевести часть электронов в свободную зону. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на освободившиеся верхние уровни. Такое вещество называется полупроводником. Если ширина запрещённой зоны ΔE велика (несколько элекронвольт), тепловое движение не сможет забросить в свободную зону заметное число электронов. В этом случае вещество называется диэлектриком.

64) Состав атомного ядра. Экспериментально установлено. Что атомное ядро состоит из протонов и нейтронов. Эти частицы называют нуклонами. Протон обладает положительным зарядом и массой m_p= 1,6726 10^-27кг. Что бы получить её значение в энергетических единицах нужно умножить её на квадрат скорости света и разделить на величину элементарного заряда:

Протон имеет спин S=1/2 и собственный магнитный момент

,Где - ядерный магнетон. Единица в которой измеряют магнитные моменты нуклонов. Он в 1836 раз меньше магнетона Бора. Нейтрон имеет равный нулю электрический заряд, а масса его близка к протону: .Спин нейтрона S=1/2 и, несмотря на отсутствие заряда, он имеет магнитный момент. Знак минус означает, что направления спина и магнитного момента у нейтрона взаимно противоположны. В свободном состоянии нейтрон нестабилен, т.е. самопроизвольно распадается, превращаясь в протон и испуск. e и электр. нейтрино: (5) Период полураспада свободного нейтрона (время за которое распадается половина первоначального числа нейтронов) равно примерно 12 минут. Хар-ки атомного ядра Электрический заряд ядра Ze, число протонов (атомный номер) обозначается символом Z, массовое число А, число нейтронов N=А-Z. Символически характеристики записываются так: (6) Где Х обозначает химический символ элемента, которому принадлежит ядро, например, . Поскольку Z определяется положением элемента в периодической системе, то его часто не указывают. Атомы с одинаковым числом протонов или нейтронов, называют нуклидами. Нуклиды с одинаковым числом протонов называют изотопами. У разных атомов число изотопов различно, среди них есть как стабильные так и радиоактивные.