атомка-1 / Шпоры по атомке (25,27,28,30-36,38)

25) Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца: 1) Из бесконеч множества электронных орбит осуществляются только те которые удовлетворяют условиям квантования. Электрон, находясь на одной из таких орбит (стационарных состояний) не излучает электромагнитных волн.

2) Атом излучает электромагнитные кванты с энергией при переходе электрона с одной орбиты (стационарного состояния) на другую. Величина кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона:

Существование дискретных энергетических атомных уровней было подтверждено опытами Франка и Герца. Схема их установки на рис.1.

В трубке заполненной парами ртути (давление 1 мм. рт. ст.) с катода, в результате термоэлектронной эмиссии, вылетали электроны. Они ускорялись разностью потенциалов между катодом и сеткой. Между анодом и сеткой слабое электрическое поле (0,5В) тормозило движение электронов к аноду. На рисунке 1 изображено изменение потенциальной энергии электронов, при движении от катода к аноду, при различных напряжениях на катоде. Сила тока измерялась гальванометром. Полученная вольт амперная характеристика показана на рис.2.

Именно дискретность энергетических уровней объясняет такой ход кривой. Атомы могут воспринимать энергию только порциями (1). До тех пор пока энергия электрона меньше , соударения электрона с атомами носят упругий характер. Причем, так как масса электрона много меньше массы атома ртути, энергия электрона при столкновениях практически не меняется. Часть электронов попадает на сетку, остальные же, проскочив через сетку, достигают анода, создавая ток в цепи гальванометра. Чем больше скорость электронов, тем больше ток в цепи гальванометра.

Будем увеличивать напряжение на катоде. Когда энергия электрона ( в промежутке между катодом и сеткой) достигает значения соударения перестают быть упругими – электроны передают атомам энергию и продолжают двигаться существенно меньшей скоростью. Число электронов достигших анода уменьшается. При U=5,3 В электрон сообщает атому энергию соответствующую 4,9 В (первый потенциал возбуждения) и продолжает двигаться с энергией 0,4 эВ. Он не сможет преодолеть задерживающего напряжения между сеткой и анодом и вернётся на сетку. Поэтому наблюдаем на кривой первый минимум. Атомы получившие при соударении энергию , переходят в возбуждённое состояние, из которого они через 10^-8секунды возвращаются в основное состояние, излучая фотон с частотой .Когда напряжение на катоде превышает 9,8 В , электрон может дважды претерпеть неупругое соударение, теряя при этом 4,9 эВ + 4,9 эВ=9,8 эВ, вследствие чего сила тока снова уменьшается. При напряжении 14,7 В возможны трёхкратные неупругие соударения. Если увеличить длину свободного пробега электронов, уменьшая давление ртутных паров, то повышением напряжения на катоде можно добиться, что электроны смогут приобретать скорости, достаточные для перевода атомов в состояние с энергией Е₃. В этом случае на кривой наблюдаются максимумы при напряжениях кратных второму потенциалу возбуждения атома ртути 6,7 В. Таким образом, в опытах Франка и Герца непосредственно наблюдается наличие у атомов дискретных энергетических уровней.

Согласно второму постулату Бора частота излученного фотона:

а частота фотона в спектроскопии выражается как разность термов

Следовательно, для терма получаем выражение

Терм связан с энергией стационарного состояния атома, отличаясь от неё лишь на множитель ().

30) и 35) Квантование орбитального момента импульса: Применительно к моменту импульса в КМ вводятся 4 оператора: оператор квадрата момента , и три оператора проекции на оси координат: . Оказывается, что одновременно могут иметь определённые значения только квадрат момента и одна из проекций. Две другие проекции при этом оказываются совершенно неопределёнными. Это означает, что вектор момента не имеет определённого направления в пространстве. Поэтому он не может быть изображён с помощью направленного отрезка прямой.Решение задачи на собственные

значения :

достаточно трудно, поэтому приведём окончательный результат:

Здесь l – квантовое число, называемое азимутальным.

Оценка размера и минимальной энергии водородоподобного атома: Формально для оценки в окрестностях нижнего энергетического состоянии можно положить: . Подставив в соотношение неопределённости, получим .

Энергия электрона в атоме водорода равна

Заменив через получим, что (6)

Найдём значения, при которых энергия минимальна. Продифференцируем и приравняем к нулю:

Отсюда следует, что (7)

Полученное выражение совпало с первым Боровским радиусом водородного атома. Подставив (7) в выражение для энергии (6) получим энергию основного состояния:

Собственные значения модуля момента импульса:

Уравнение на собственные значения оператора проекции момента имеет вид

Подстановка приводит к алгебраическому уравнению: т.е. . Тогда решение имеет вид

Для того, что бы эта функция была однозначной необходимо выполнение условия :

Это условие будет выполнено, если

Из этих формул вытекает, что всегда меньше . Следовательно, направление момента импульса не может совпадать ни с одной из его проекций и не может задаваться выделенным в пространстве направлением.Правило сложения модулей моментовМомент импульса системы из нескольких микрочастиц равен сумме моментов отдельных частиц и определяется формулой

где L – азимутальное квантовое число результирующего момента. В случае системы из двух частиц, L может иметь следующие значения:где - числа, определяющие модули складываемых моментов.В случае системы, состоящей из большего, чем два числа частиц, максимальное L равно сумме l дельных частиц.Проекция результирующего момента равна:

27) и 28) Соотношение неопределённостей Гейзенберга. Анализ реального поведения микрочастиц приводит к мысли, что точность измерений физических величин имеет не только приборный характер. Оказывается, существует принципиальный предел точности, с которой переменные могут быть не только измерены, но и указаны!!!

Принцип неопределённости: произведение неопределённостей значений двух сопряжённых переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка.

Канонически сопряжёнными величинами в классической механике называют пары и некоторые другие. Обозначив их буквами А и В, можно записать соотношение неопределённостей:

В частности для координаты и проекции импульса на неё, справедливо

Своеобразие свойств микромира заключается также в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определённые значения. Так, например, микрочастица не может иметь одновременно точные значения координаты и проекции импульса р_х. Что чем меньше неопределённость одной переменной, тем больше неопределённость другой переменной.

Для энергии и времени это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени :

Прохождение частицы через щель: Соотношение неопределённостей было получено из рассмотрения прохождения микрочастицы через узкую щель.

Пусть на пути част. наход. преграда со щелью ширины.

До прохождения щели её импульс имеет точное значение. Так что . Зато координата совершенно неопределённа. В момент прохождения щели положение меняется на противоположное. Вместо полной неопределённости координаты появляется неопр-сть , зато утрачивается опред-сть импульса Вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ, соответствующего первому дифракционному минимуму. Максимумами высших порядков можно пренебречь, так как их интенсивность мала по сравнению с центральным. Таким образом, неопределённость можно оценить

Угол φ связан с и λ соотношением для края центрального максимума:

Следовательно

Окончательно имеем:

Следствие 1. Невозможно состояние, в котором бы микрочастица покоилась.

Следствие 2. Часто теряет смысл деление энергии на потенциальную и кинетическую, так как первая из них зависит от координаты, а вторая от импульса, а эти величины одновременно не могут быть точно определены.

31) Соотношение неопределённости Гейзенберга.Оценка размеров. Анализ реального поведения микрочастиц приводит к мысли, что точность измерений физических величин имеет не только приборный характер. Оказывается, существует принципиальный предел точности, с которой переменные могут быть не только измерены, но и указаны!!!

Принцип неопределённости: произведение неопределённостей значений двух сопряжённых переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка.

Канонически сопряжёнными величинами в классической механике называют пары и некоторые другие. Обозначив их буквами А и В, можно записать соотношение неопределённостей:

В частности для координаты и проекции импульса на неё, справедливо

Своеобразие свойств микромира заключается также в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определённые значения. Так, например, микрочастица не может иметь одновременно точные значения координаты и проекции импульса р_х. Что чем меньше неопределённость одной переменной, тем больше неопределённость другой переменной.Для энергии и времени это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени :

32) Уравнение Шрёдингера. Физический смысл и свойства пси-функции: Шрёдингер сопоставил микрочастице комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил буквой «пси»-Ψ(x,t). Мы будем называть её пси-функцией, а где позволяет контекст и просто функцией. Иногда пси-функцию называют амплитудой вероятности, по причине которая станет ясной ниже.

Вид пси-функции можно получить, решая уравнение Шредингера:

Здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, - оператор Лапласа, U – потенциальная энергия частицы (для случая когда U не зависит явно от времени).

Из уравнения следует, что вид пси-функции определяется функцией U. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как фундаментальное соотношение, доказываемое опытными фактами.

Если силовое поле стационарно, то пси-функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, а другой только от времени:

Здесь Е полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Подставим это выражение в уравнение:

Сократим на общий множитель и получим уравнение, определяющее функцию : (11)

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с ним. Его можно записать в виде (12)Рассмотрим, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Рассмотрим свободно движущуюся частицу. Сопоставим ей плоскую волну де-Бройля : (13)

Продифференцируем по времени (14.1)

Теперь дважды по координате (14.2) Отсюда получим (14.3)

В нерелятивистской механике, подставив в это выражение (14.3) получим

.Получаем уравнение Шрёдингера.

33) Результаты квант. механики для водородоподобного атома: Потенциальная энергия электрона движущегося в поле водородоподобного атома с зарядом ядра Ze равна

Уравнение Шредингера имеет вид

Так как задача обладает центральной симметрией, целесообразно воспользоваться сферической системой координат. Уравнение (29) будет иметь вид

Это уравнение имеет решения в следующих случаях:

1) при любых положительных Е, что соответствует электрону пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся на бесконечность.

2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

.Этот результат совпадает с результатом теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются как следствие основных положений теории. Собственные функции уравнения содержат три целочисленных параметра:1. Параметр n ,называемый главным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии.2. Парам. называется азимутальным квантовым числом. Он определяет модуль момента импульса атома.3. Параметр называется магнитным квантовым числом, определяющим проекцию момента на некоторое направление z.

Энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии соответствует несколько собственных функций

Отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это значит, что атом водорода может находиться в нескольких различных состояниях, но иметь при этом одну и туже энергию. Состояния с одной и той же энергией называются вырожденными. А число их называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Число различных сост., соответствующих данному n, равно

34) Прохождение частицы через потенциальный барьер:

Пусть частица встречает на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины . По классическим представлениям частица имеющая энергию выше потенциального барьера беспрепятственно проходит дальше над барьером. Лишь на участке уменьшается скорость частицы. Если же Е меньше , то частица отражается. Сквозь барьер частица проникнуть не может.

В квантовой механике все иначе. Даже при имеется вероятность, что частица отразится от барьера. А при и вовсе необычная ситуация – частица имеет вероятность проникнуть сквозь потенциальный барьер и оказаться в области III. Такое поведение частицы вытекает из уравнения Шредингера.

Рассмотрим сначала случай . Уравнение Шредингера для области I III имеет вид

Будем искать решение в виде . Подстановка этой функции приводит к характеристическому уравнениюКорни . Тогда общее решение имеет вид

Для области II уравнение

причем . Используем ту же подстановку.

Решение имеет вид

Решение вида соответствует волне распространяющейся в положительном направлении оси x. ешение вида соответствует волне распространяющейся в отрицательном направлении оси x. области II коэффициент В₂=0, так как там не может быть растущего решения (или как говорят должно выполняться условие конечности пси-функции). области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся с лева на право. Поэтому коэффициент B₃=0.

Отношение определяет вероятность отражения волны от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения.

Отношение определяет вероятность прохождения волны через потенциальный барьер и называется коэффициентом прохождения (прозрачности). Эти коэффициенты связаны соотношением .

Для коэффициента прохождения потенциального барьера получается (в общем случае):

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в барьере, в связи с чем этот эффект был назван туннельным.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица в туннеле должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией т.к. . Это явление имеет исключительно квантовый характер. В квантовой механике деление энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределённости. Тот факт, что частица имеет точно заданную потенциальную энергию говорил бы о том, что частица находится в точно заданном месте в пространстве. А то что точно задана кинетическая энергия, означает, что точно определён импульс частицы.

36) Принцип Паули. Заполнение электронных оболочек атомов: Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

главным ,

азимутальным ,

магнитным ,

спиновым

Энергия сост. зависит в основном от n и l, а от и имеется слабая зависимость.

В невозбуждённом состоянии атома электроны должны располагаться на самых нижних энергетических уровнях. Поэтому, казалось бы, в любом атоме все электроны должны были бы находиться в состоянии 1s (n=1, l=0). Однако опыт показывает, что это не так.

Объяснение наблюдаемым термам дает принцип Паули:

«В одном и том же атоме (или иной квантовой системе) не может быть двух фермионов, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел ( в атоме n, l, m_l, m_s.» Фермионами называют частицы с полуцелым спином, очевидно, что электрон относится к фермионам.

Главному квантовому числу n соответствует n² состояний, отличающихся значениями l и m_l. Квантовое число m_s может принимать два значения: (+,-)1/2 . Поэтому в состояниях с данным n могут находиться не более 2n² электронов. Совокупность электронов с одинаковым n образуют оболочку. Оболочки подразделяются на подоболочки, отличающиеся значениями квантового числа l. Оболочки имеют следующие обозначения: n=1, K;n=2, L;n=3, M;n=4, N;n=5, O;n=6, P;n=7, Q. Подоболочки могут обозначать двумя способами, например, L₁ либо 2s. Для полностью заполненной оболочки равны нулю суммарные орбитальный и спиновый моменты. Следовательно, момент импульса всей подоболочки равен J=0.

38) Результаты квантовой механики для атома водорода: Состояния с различными значениями азимутального квантового числа l различаются величиной момента импульса. Они обозначаются малыми латинскими буквами: l=0, s; l=1, p; l=2, d; l=3, f; l=4, g; l=5, h;

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Например, электрон в состоянии n =3 и l =1 обозначается символом 3p. Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. Для азимут. квант. числа l имеется правило отбора

Это правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином) равными . При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении приносит, так что правило отбора есть просто следствие закона сохранения момента импульса.