3.2Дискретное распределение. Таблица.

xk	-2	1	2	5
pk	3/8	2/8	2/8	1/8

Если по условию нам дана такая таблица, то решим наиболее типичные задания для нее:

1. M[x] - ?

Мат. ожидание находится по общей формуле: . Ответ: .

2. D[x] - ?

Дисперсия также находится по общей формуле: . Ответ: 5,48.

3. P(1< X < 6) - ?

P(1 < X < 6) = P(2)+P(5)= . Ответ: .

4. P( X > 5 | X > 3) - ?

P( X > 5 | X > 3) = . Ответ: 0.

Примечание: в последних двух примерах мы находили вероятности, учитывая только данные таблицы, т.е. неравенству 1 < X < 6, удовлетворяют лишь два Х из таблицы (2 и 5), поэтому мы и находим P(1< X < 6) как сумму вероятностей подходящих иксов.

1.3Нормальное распределение.

Нормальное распределение хорошо объясняется с помощью графика:

То есть, вероятность того, что переменная Х будет лежать на отрезке от M[x] до равна 34,13 %. Вероятность того, что переменная Х будет больше M[x] равна 50%. Площадь всего графика равна , т.е. 1 или 100%.

В задаче обычно нормальное распределение задается формулой: . Если задача текстовая, то стоит посмотреть: если она не имеет никаких особенностей, присущих другим распределениям, то перед нами – нормальное распределение.

Пример: . Из условия видно, что M[x]=5, =2. Построим график:

И ответим на вопросы:

1. M[2X+5] - ?

M[2X+5]=2* M[x]+5=15. Ответ: 15.

2. - ?

= 13,59%+2,14%=15,73%. Ответ: 15,73%.

3. - ?

= . Ответ: 40,5%.

Теперь решим текстовую задачу:

Среднее значение и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате трех испытаний одно из полученных значений Х не попадет в интервал (15, 25).

Решение:

Построим график:

С обытие, что при 3-х экспериментах одно из значений Х не попадет в промежуток, представляет собой пересечение 3-х событий: значение Х попадет в интервал в 2-х случаях и не попадет в одном. Существует 3 подобных комбинации:

А: Х попадает, Х попадает, Х не попадает.

В: Х попадает, Хне попадает, Х попадает.

С: Х не попадает, Х попадает, Х попадает.

Найдем искомую вероятность как сумму вероятностей трех вышеперечисленных событий:

Ответ: 44%

1.4Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение применимо в задачах, где у нас существует лишь два исхода: выигрыш или проигрыш, орел или решка и т.д.. Задается данное распределение записью: , где n – количество проведенных экспериментов, p – вероятность благоприятного исхода. Следует заметить, что математическое ожидание и дисперсию в подобных задачах можно найти по упрощенным формулам: , , где q – вероятность неблагоприятного исхода, которая равна q=1-p

Вероятность при биномиальном распределении находится по формуле Бернулли:

, где m – количество благоприятных исходов, а - число сочетаний из n по m, т.е. количество комбинаций m элементов, которые берутся из n элементов без повторений. Зная, что , формула Бернулли принимает вид: .

Рассмотрим наиболее типичные примеры на основе распределения X Bi(8; 0,25); Y= X+2

Найти: M[Y], P(X=1), P(Y < 3), P(X < 3 | X > 0)

Решение:

1. M[Y]=M[X+2]=M[X]+2=n*p+2=4

2. . Стоит заметить, что , а , поэтому мы можем сократить 8! и 7!, получив в остатке 8. Таким образом, часто удается сократить n! и (n-m)! либо m!.

3. . Стоит заметить, что Х не может быть меньше 0 или больше 8, т.к. Х – число выигрышей.

4. .

Стоит отметить, что в данном случае рациональнее было расписать как , а не P(X=1)+P(X=2)+….

Теперь решим текстовую задачу:

Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Решение: Итак, нам дано: q=0,11, n=5, m=4. Отсюда находим .

Теперь используя формулу Бернулли, найдем искомую вероятность: . Ответ: 0, 345.