Глава II. Характеристики случайной величины.
M[x], E[x] – математическое ожидание величины. Среднестатистический результат эксперимента. Наиболее вероятное значение величины х. Для простых задач используется формула:
=
.
Свойства мат. ожидания:
(
)
Примечание: a, b, c, d – константы.
Задача: На какую сумму очков, выпадающих при подбрасываниях двух костей, разумно сделать ставку?
Решение:
Сумма очков, на которую разумно сделать ставку – наиболее вероятная сумма очков, т.е. это математическое ожидание х, где х – сумма очков.
Итак, х принимает значения от 2 (две единицы) до 12 (две шестерки). Поэтому высчитаем чему равно M[x] по формуле: :
M[x]=2*
+
3*
+4*
+5*
+6*
+7*
+8*
+9*
+10*
+11*
+12*
=7
Ответ: 7
Примечание: вероятности находятся все по той же формуле . Кол-во всех исходов 36 ( 1 и 1, 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 1 и 6 и т.д., таким образом, 6 вариантов при 1, 2, 3, 4, 5, 6, итого 6*6=36). Кол-во благоприятных исходов при каждом х считается отдельно: P(2)= (т.к. сумма очков равна 2, только при одном исходе – 1 и 1), P(7)= (т.к. сумма очков равна 7, при шести исходах: 1 и 6, 6 и 1, 2 и 5, 5 и 2, 3 и 4, 4 и 3) и так далее.
D[x] – дисперсия переменной. Квадрат величины, показывающей стандартное отклонение от среднестатистического результата. Рассчитывается по формулам: D[x]=
(где
- стандартное отклонение),
и
.
Лучше использовать последнюю формулу.
Свойства дисперсии:
(
)
,
если х и у – независимые.
,
если х и у – зависимые.
Задача: Какое среднее квадратичное отклонение суммы очков при броске двух кубиков?
Решение:
Требуется
найти
,
который равен
.
Чтобы найти дисперсию, следует
воспользоваться формулой
.
M[x]
возьмем из предыдущей задачи – 7. Найдем
:
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=54,83.
Тогда
,
а значит
Ответ: 2,42
Ковариация, cov(x;y) – мера линейной зависимости двух величин. Находится по формулам:
и
Свойства:
Доказательство:
=
=
=
=
Доказательство:
Корреляция, corr(x;y) – статистическая связь двух и более величин. Находится по формуле:
.
Свойства:
,
если a
и b
оба >0 или оба <0
,
если а или b
<0
Доказательство:
.
Поэтому знак перед корреляцией зависит
от знаков a
и b.
Доказательство:
Глава III. Распределения
3.1 Равномерное распределение
Равномерное
распределение обычно задается либо
формулой: рx(u)
=
,
если 3 < Х < 7, т.е. при каждом Х меньше
7 и больше 3, P(x)=
,
при других Х - P(x)=0;
либо графиком:
Рассмотрим несколько частных примеров:
P(3 < X < 6) = Sпрямоугольника В= * (6 - 3)=
.
Ответ:
P(X > 3) =
.
Ответ: 1P( X > 4 | X > 3) =
.
Ответ:
.
Примечание: мы ищем вероятность по формуле площади, т.к. мы ищем вероятность непрерывного промежутка чисел Х, а не одного единственного числа х. Поэтому мы умножаем плотность вероятности (то как распределена вероятность всех возможных событий, и которая равна 1 относительно всех возможных Х) на длину промежутка Х.