Задачи аналитическая геометрия

Привести к каноническому виду и найти характерные особенности кривой (центр,угловой коэффициент оси, оси, вершину, асимптоты):

1) 2)12xy+5 -12y-22x=19 3)16 +24xy +9 -40x+30y=0

4)

Решение:

1. .

Кривая представляет собой линию второго порядка, определяемую уравнением:

.

Здесь: ; ; ; ; ; .

В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат.

Величину угла поворота найдем по формуле:

;

.

Т.к. , то из уравнения найдем тангенс искомого угла.

; ; или .

Ограничению удовлетворяет острый угол: .

Вычислим и по формулам:

;

; .

Произведем замену, соответствующую повороту на угол по формуле:

;

.

Получим уравнение:

;

;

;

;

.

Выделим полные квадраты:

;

.

После замены: получим:

;

;

.

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса при и . Однако его коэффициенты не удовлетворяют неравенству: . Поэтому необходимо переименовать координатные оси, т.е. сделать замену: , после которой получится каноническое уравнение эллипса:

.

Формула перехода от исходной системы к канонической получаем как композицию преобразований прямоугольных координат: , выражения параллельного переноса: , а затем отражения: .

Первая подстановка дает:

;

Вторая подстановка дает искомую связь:

.

Таким образом, каноническое уравнение кривой:

при .

Определим центр эллипса. Т.к.

, то .

Таким образомцентр эллипса расположен в точке: А с координатами (1;1).

Уравнение осей (большой и малой) эллипса найдем, исходя из того, что:

– уравнение малой оси;

– уравнение большой оси.

Сложим первое уравнение со вторым: .

Получим: .

Отсюда: ; .

Т.к. уравнение большой оси , то в координатной системе данное уравнение примет вид: .

;

Получили уравнение большой оси: .

Отсюда следует, что угловой коэффициент большой оси .

Длина большой оси равна: .

Вычтем из первого уравнения со второе: .

Получим: .

Отсюда: ; .

Т.к. уравнение малой оси , то в координатной системе данное уравнение примет вид: .

;

Получили уравнение малой оси .

Отсюда следует, что угловой коэффициент малой оси .

Длина малой оси равна: .

Асимптот эллипс не имеет.

Эллипс имеет 4 вершины, расположенные на прямых и на расстоянии и соответственно.

Таким образом, вершины эллипса имеют координаты:

; – вершины, лежащие на большой оси эллипса (прямой ).

; – вершины, лежащие на малой оси эллипса (прямой ).

2)12xy+5 -12y-22x=19.

Кривая представляет собой линию второго порядка, определяемую уравнением:

.

Здесь: ; ; ; ; ; .

В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат.

Величину угла поворота найдем по формуле:

;

.

Т.к. , то из уравнения найдем тангенс искомого угла.

; ; ;

1. ;

2. .

Ограничению удовлетворяет острый угол: .

Вычислим и по формулам:

;

; .

Произведем замену, соответствующую повороту на угол по формуле:

;

.

Получим уравнение:

;

;

;

;

;

.

Выделим полные квадраты:

;

;

;

;

.

После замены: получим:

;

;

.

Это уравнение похоже на каноническое уравнение гиперболы при и . Однако его коэффициенты не удовлетворяют неравенству: . Поэтому необходимо переименовать координатные оси, т.е. сделать замену: , после которой получится каноническое уравнение эллипса:

.

Формула перехода от исходной системы к канонической получаем как композицию преобразований прямоугольных координат: , выражения параллельного переноса: , а затем отражения: .

Первая подстановка дает:

;

Вторая подстановка дает искомую связь:

;

Таким образом, каноническое уравнение кривой:

при ;

Уравненияасимптот гиперболы имеют вид:

и .

Или: и .

Центр гиперболы в системе координат имеет координаты .

В системе координат центр имеет координаты .

Гипербола имеет следующую большую ось: .

Уравнение большой оси в системе координат =0;угловой коэффициент большой оси равен 0.

3)16 +24xy +9 -40x+30y=0

Кривая представляет собой линию второго порядка, определяемую уравнением:

.

Здесь: ; ; ; ; ; .

В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат.

Величину угла поворота найдем по формуле:

;

.

Т.к. , то из уравнения найдем тангенс искомого угла.

; ;

;

1. ;

2. .

Ограничению удовлетворяет острый угол: .

Вычислим и по формулам:

;

; .

Произведем замену, соответствующую повороту на угол по формуле:

;

.

Получим уравнение:

;

;

;

;

;

– каноническое уравнение параболы при .

Вершина параболы находится в точке А (0;0).

Уравнения асимптот парабола не имеет.

Ось симметрии в системе координат . Следовательно, в системе координат ось симметрии будет иметь уравнение: (т.к. оси поворачивали на угол, тангенс которого равен ). Угловой коэффициент равен .

4)

Кривая представляет собой линию второго порядка, определяемую уравнением:

.

Здесь: ; ; ; ; ; .

В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат.

Величину угла поворота найдем по формуле:

;

.

Т.к. , то из уравнения найдем тангенс искомого угла.

; ; или .

Ограничению удовлетворяет острый угол: .

Вычислим и по формулам:

;

; .

Произведем замену, соответствующую повороту на угол по формуле:

;

.

Получим уравнение:

;

;

;

;

.

Выделим полные квадраты:

;

.

После замены: получим:

;

;

.

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса при и . Однако его коэффициенты не удовлетворяют неравенству: . Поэтому необходимо переименовать координатные оси, т.е. сделать замену: , после которой получится каноническое уравнение эллипса:

.

Формула перехода от исходной системы к канонической получаем как композицию преобразований прямоугольных координат: , выражения параллельного переноса: , а затем отражения: .

Первая подстановка дает:

;

Вторая подстановка дает искомую связь:

.

Таким образом, каноническое уравнение кривой:

при .

Определим центр эллипса. Т.к.

, то .

Таким образом,центр эллипса расположен в точке: А с координатами (1;1).

Уравнение осей (большой и малой) эллипса найдем, исходя из того, что:

– уравнение малой оси;

– уравнение большой оси.

Сложим первое уравнение со вторым: .

Получим: .

Отсюда: ; .

Т.к. уравнение большой оси , то в координатной системе данное уравнение примет вид: .

;

Получили уравнение большой оси: .

Отсюда следует, что угловой коэффициент большой оси .

Длина большой оси равна: .

Вычтем из первого уравнения со второе: .

Получим: .

Отсюда: ; .

Т.к. уравнение малой оси , то в координатной системе данное уравнение примет вид: .

;

Получили уравнение малой оси .

Отсюда следует, что угловой коэффициент малой оси .

Длина малой оси равна: .

Асимптот эллипс не имеет.

Эллипс имеет 4 вершины, расположенные на прямых и на расстоянии и соответственно.

Таким образом, вершины эллипса имеют координаты:

; – вершины, лежащие на большой оси эллипса (прямой ).

; – вершины, лежащие на малой оси эллипса (прямой ).

Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах , , ,

Решение:

Если векторы , и взаимно перпендикулярные векторы, то объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , найдем через определитель:

V =

.

V = .

Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах , , ,где p,q,r взаимно перпендикулярные векторы.

Решение:

Если векторы , и взаимно перпендикулярные векторы, то объем параллелепипеда, построенного на векторах , и ,найдем через определитель:

V =

.

V = .

Даны три вектора ={3,1,2}, ={2,7,4}, ={1,2,1} найти .

Решение:

=

.

=

.

=

.

Тогда:

Зная , что = Найти соотношение между векторами a,b,c не содержащее коэффициентов x и y.

Решение:

Умножим обе части равенства векторнона .

[ = .

Т.к. , то = , т.е. = .

Отсюда следует, что .

Аналогично, умножим обе части равенства векторнона .

[ = .

Т.к. , то = , т.е. .

Отсюда следует, что .

Таким образом, = .

Проверить что две прямые x=1+2t ,y=2t, z=t и x=11+8t,y=6+4t,z=2+tпересекаются и написать уравнение биссектрисы тупого угла между ними.

Решение:

Пусть прямые записаны в виде:

и

Тогда точку пересечения прямых и найдем, решив систему уравнений:

Из системы уравнений получим: .

Откуда: ; ; .

Получим:

Отсюда точка А пересечения прямых имеет координаты:

Направляющий вектор прямой : .

Направляющий вектор прямой : .

Найдем скалярное произведение векторов и : . Следовательно, угол между прямыми и острый.

Т.к. требуется найти уравнение биссектрисы тупого угла, то возьмем направляющий вектор прямой со знаком “-”: .

Далее найдем единичные вектора направляющих векторов и соответственно.

.

.

Соответственно единичные направляющие вектора будут равны:

и .

Тогда направляющий вектор биссектрисы найдем, как сумму векторов и .

.

Таким образом, уравнение биссектрисы, проходящей через точку А(3;2;1) и имеющей направляющий вектор :

.

.

Составить уравнения сторон треугольника ,зная одну из его вершин A(2,-4) и уравнение биссектрис двух его углов x+y=2, x-6y=6