9 Вопрос

Многоугольник сил. Определение равнодействующей сходящихся сил (Физика → Теоретическая механика → Плоская система сходящихся сил → Задача 33) Условие задачи Определить равнодействующую четырех сил: P1=18 кГ, P2=10 кГ, P3=6 кГ и P4=8 кГ, приложенных к одной точке A и направленных, как показано на рис. 42.

Решение методом проекций

1. Изображаем на рисунке четыре данные силы и выбираем расположение осей проекций. В данном случае удобно начало осей поместить в точке A, а оси совместить с силами P₁ и P₃ (рис. 42, а).

2. Находим проекции данных сил на ось х:  X₁ = -P₁ = -18;  X₂ = -P₂ cos 60° = -10 cos 60° = -5;  X₃ = 0;  X₄ = P₄ cos 45° = 8 cos 45° = 5,67.

3. Находим проекции данных сил на ось у:  Y₁ = 0;  Y₂ = P₂ sin 60° = 10 sin 60° = 8,65;  Y₃ = P₃ = 6;  Y₄ = P₄ sin 45° = 8 sin 45° = 5,67.

Если трудно определить знак и числовое значение проекции, то необходимо помнить (§ 4), что проектируемую силу и две проекции на взаимно перпендикулярные оси всегда можно представить в виде прямоугольного треугольника. В тех случаях, когда еще нет достаточных навыков, силы и ее проекции можно изобразить отдельно, как показано на рис. 42, б для силы P₂ и на рис. 42, в для силы P₄. Эти рисунки облегчают правильное определение проекций.

Для сил P₁ и P₃ такие рисунки не нужны, так как сила P₁ лежит на оси х и, следовательно, проектируется на эту ось в натуральную величину, но зато на ось у проекция этой силы равна нулю. Сила P₃ проектируется в натуральную величину на ось у, а ее проекция на ось х равна нулю.

4. Находим проекции искомой равнодействующей R на оси х и у:  X_R = -18 - 5 + 5,67 = -17,3;  Y_R = 8,65 + 6 + 5,67 = 20,3.

Проекция на ось х получается отрицательной, а на ось у положительной. Значит вектор R, заменяющий действие четырех данных сил и приложенный к точке A, должен быть направлен относительно оси у вверх, а относительно оси х – влево. Положение равнодействующей R показано отдельно на рис. 42, г.

5. Находим модуль равнодействующей (т. е. заканчиваем решение задачи первым путем, см. п. 7 в § 4):  R = sqrt(X_R² + Y_R²) = sqrt(17,3² + 20,3²) = 26,7 кГ.

6. Находим угол φ, определяющий направление R относительно оси у (см. рис. 42, а):  tg φ = |X_R| / Y_R = 17,3 / 20,3 = 0,835  и, следовательно, φ ≈ 40°30'.

Для определения угла φ использован ΔABC (см. рис. 42, г), в котором ∠BAC=φ. Поэтому X_R не имеет значения и в выражение tg φ подставлена его абсолютная величина.

Угол φ можно найти при помощи синуса:  sin φ = |X_R| / R = 17,3 / 26,7 = 0,647 и φ ≈ 40°30'.

Для определения угла φ можно воспользоваться и косинусом, но при работе с логарифмической счетной линейкой эта функция менее удобна.

Таким образом, равнодействующая четырех заданных сил равна 26,7 кГ и направлена под углом 40°30' к положительному направлению оси у и под углом 90°+40°30'=130°30' к положительному направлению оси х.

Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода: 1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции». 2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая   сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то   может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда много­угольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построен­ный из этих сил, был замкнут.

2.