Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
20
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
35.84 Кб
Скачать

Семинар 3

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Ej=a, Dj==2<. Тогда

для любого >0, (1)

Соотношение (1) называется законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если 1, 2,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, En=a, Dn=2< (n=1,2,…), то для любых –<x1< x2<,

.

Задачи

1. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем

Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

2. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность . Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

3. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=1}= P{j=–1}=1/2. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

4. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=–n}=P{j= n}=1/2n, P{j= 0}=1–1/2n–1. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Указание. Найти максимум функции f(x)=x2/2x–1) (Ответ: применим)

5. Складываются n=12104 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10m. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (–0,510m, 0,510m), найти, пределы в которых с вероятностью не меньшей 0,98 лежит суммарная ошибка.

Указание. а) Пусть k–ошибка округления k-го числа, k=1,…,n. Найти плотность k, Ek, Dk.

б) Применяя центральную предельную теорему получить

.

в) Выбрать x1, x2 так, чтобы длина [x1, x2] была наименьшей и воспользоваться равенством 2Ф(2,33)=0,98. Ответ.[– 2,3310m+2, 2,3310m+2].

6. Случайная величина n имеет распределение Пуассона с параметром n (P{=k}= , k=0, 1,…). Доказать, что для любого x(–, +)

Указание. Представить n=1+2+…+n, где случайные величины j независимы и имеют распределение Пуассона с параметром 1, а затем применить центральную предельную теорему.

7. Пусть 1, 2,… n–независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], и sn=1+2+…+n. Показать, что с вероятностью приблизительно 0,98 значение s1200 будет лежать в пределах (60023,3).

Соседние файлы в папке Семинары по ТВиМС