Семинар 3

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Пусть ₁, ₂,… _n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем E_j=a, D_j==²<. Тогда

для любого >0, (1)

Соотношение (1) называется законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если ₁, ₂,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, E_n=a, D_n=²< (n=1,2,…), то для любых –<x₁< x₂<,

.

Задачи

1. Пусть ₁, ₂,… _n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем

Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

2. Пусть ₁, ₂,… _n–независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность . Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

3. Пусть ₁, ₂,… _n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{_j=1}= P{_j=–1}=1/2. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)

4. Пусть ₁, ₂,… _n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{_j=–n}=P{_j= n}=1/2ⁿ, P{_j= 0}=1–1/2^n–1. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Указание. Найти максимум функции f(x)=x²/2^x–1) (Ответ: применим)

5. Складываются n=1210⁴ чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10^–m. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (–0,510^–m, 0,510^–m), найти, пределы в которых с вероятностью не меньшей 0,98 лежит суммарная ошибка.

Указание. а) Пусть _k–ошибка округления k-го числа, k=1,…,n. Найти плотность _k, E_k, D_k.

б) Применяя центральную предельную теорему получить

.

в) Выбрать x₁, x₂ так, чтобы длина [x₁, x₂] была наименьшей и воспользоваться равенством 2Ф(2,33)=0,98. Ответ.[– 2,3310^–m+2, 2,3310^–m+2].

6. Случайная величина _n имеет распределение Пуассона с параметром n (P{=k}= , k=0, 1,…). Доказать, что для любого x(–, +)

Указание. Представить _n=₁+₂+…+_n, где случайные величины _j независимы и имеют распределение Пуассона с параметром 1, а затем применить центральную предельную теорему.

7. Пусть ₁, ₂,… _n–независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], и s_n=₁+₂+…+_n. Показать, что с вероятностью приблизительно 0,98 значение s₁₂₀₀ будет лежать в пределах (60023,3).