
Семинары по ТВиМС / ТвиМС_3
.docСеминар 3
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Ej=a, Dj==2<. Тогда
для любого >0,
(1)
Соотношение (1) называется законом больших чисел.
Центральная предельная теорема. Если 1, 2,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, En=a, Dn=2< (n=1,2,…), то для любых –<x1< x2<,
.
Задачи
1. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)
2. Пусть 1,
2,… n–независимые
одинаково распределенные случайные
величины, имеющие плотность
.
Применим ли к этой последовательности
закон больших чисел? (Ответ: применим)
3. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=1}= P{j=–1}=1/2. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Ответ: применим)
4. Пусть 1, 2,… n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P{j=–n}=P{j= n}=1/2n, P{j= 0}=1–1/2n–1. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? (Указание. Найти максимум функции f(x)=x2/2x–1) (Ответ: применим)
5. Складываются n=12104 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10–m. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (–0,510–m, 0,510–m), найти, пределы в которых с вероятностью не меньшей 0,98 лежит суммарная ошибка.
Указание. а) Пусть k–ошибка округления k-го числа, k=1,…,n. Найти плотность k, Ek, Dk.
б) Применяя центральную предельную теорему получить
.
в) Выбрать x1, x2 так, чтобы длина [x1, x2] была наименьшей и воспользоваться равенством 2Ф(2,33)=0,98. Ответ.[– 2,3310–m+2, 2,3310–m+2].
6. Случайная величина n
имеет распределение Пуассона с параметром
n (P{=k}=
,
k=0, 1,…). Доказать,
что для любого x(–,
+)
Указание. Представить n=1+2+…+n, где случайные величины j независимы и имеют распределение Пуассона с параметром 1, а затем применить центральную предельную теорему.
7. Пусть 1, 2,… n–независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], и sn=1+2+…+n. Показать, что с вероятностью приблизительно 0,98 значение s1200 будет лежать в пределах (60023,3).