(ТВиМС) Семинар 9

Статистика T_n= T_n(X₁,…, X_n) является состоятельной оценкой для характеристики g наблюдаемой случайной величины , если при n для любого >0 выполняется условие P{| T_n– g |>}0.

Оценка T_n для g называется несмещенной, если ET_n=g. Величину b=ET_n–g называется смещением оценки T_n.

Статистику T_n=T_n(X₁,…,X_n) называют достаточной для параметра  , если условная функция распределения случайной выборки =( X₁,…, X_n) при условии, что не зависит от параметра  при любом возможном значении t.

Функция

L(X₁,…,X_n; )=p(x₁; )… p(x_n; )

называется функцией правдоподобия. Здесь p(x; ) обозначает плотность распределения непрерывной случайной величины или вероятность события {X=x} в случае дискретной случайной величины.

Теорема (критерий факторизации Неймана-Пирсона). Статистика T_n= T_n(x₁,…,x_n) является достаточной для параметра  тогда и только тогда, когда для любой реализации =(x₁,…,x_n) случайной выборки =(X₁,…,X_n) выборочное значение функции правдоподобия имеет вид

L(x₁,…,x_n)=f(T_n(x₁,…,x_n), ) h(x₁,…,x_n),

т.е. может быть представлен в виде произведения двух сомножителей, из которых второй не зависит от , а первый (зависящий от ) зависит от результатов наблюдения x₁,…,x_n только через статистику T_n= T_n(x₁,…,x_n).

Задачи

1. Убедиться, что оценка для доли p белых шаров в урне (см. задачу 1 сем. 9) является несмещенной и состоятельной.

2. Доказать, что значение эмпирической функции распределения в каждой точке х является несмещенной и состоятельной оценкой теоретической функции распределения F(x). Указание. Воспользоваться задачей 9 сем 9.

3. По n независимым наблюдениям X₁,…,X_n над случайной величиной  требуется оценить неизвестную вероятность p=P{}, где интервал  задан. Положим _n=–число попаданий в интервал . Доказать, что статистика T_n=_n/n– несмещенная и состоятельная оценка p. При каком значении p дисперсия DT_n будет максимальной?

Указание. Величина _n имеет биномиальное распределение Bi(n,p). Ответ p =1/2.

4. Показать, что выборочный момент при любом k=1,2,… является несмещенной и состоятельной оценкой теоретического момента _k=E^k. Указание. Воспользоваться задачами 6 и 7 сем. 10.

5. Пусть несмещенная оценка g с конечной положительной дисперсией D. Будет ли статистика несмещенной оценкой для g². Указание D=E– g² >0. Ответ. Нет.

6. Пусть над биномиальной Bi(n, ) случайной величиной произведено одно наблюдение X (параметр  неизвестен). Показать, что статистика T=X(n–X)/(n(n–1)) является несмещенной оценкой функции g()=(1–).

7. Пусть =(X₁,…, X_n)– выборка из распределения Бернулли Bi(1, ) с неизвестным параметром (0,1). Оценить функцию g()=(1–).

Указание. Статистика T= X₁+…+X_n имеет распределение Bi(n, ) и применить зад.7.

8. Пусть произведено одно наблюдение X над случайной величиной с распределение Пуассона ()(параметр  неизвестен). Показать, что статистика T=X(X–1)…(X–k+1) является несмещенной оценкой для функции g()=^k, k=1,2,…

9. Над случайной величиной с распределением () произведено n независимых наблюдений. Будет ли выборочное средние несмещенной оценкой параметра . Указание. Воспользоваться задачей 4.

10. Пусть =(X₁,…, X_n)– выборка из распределения Бернулли Bi(1, ) с неизвестным параметром (0,1). Доказать, что статистика T= X₁+…+X_n является достаточной для параметра .

11. Пусть =(X₁,…, X_n)– выборка из экспоненциального распределения, т.е. p(x; )= при x0, p(x; )=0 при x<0. Доказать, что статистика T=X₁+…+X_n является достаточной для параметра .