ТВиМС, Семинар 8.

Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина  принимает значения a₁, a₂,…, _r– число элементов соответствующей выборки =(X₁,…,X_n), принявших значение a_r( r=1, 2,…), _r^*=_r /n– относительная частота.

Запись в виде последовательности пар {( a_r, _r)}, где _r >0, или в виде таблицы

a1	a2	a3	…..	…..
1	2	3	……	……

называется статистическим рядом.

Наиболее важными характеристиками случайной величины  являются ее моменты _k=E^k, а также центральные моменты _k=E(–₁)^k (когда они существуют). Их статистическими аналогами, вычисляемыми по соответствующей выборке = (X₁,…,X_n), являются выборочные моменты

, .

Величина называется выборочным средним и обозначается :==; величина называется выборочной дисперсией D_в===.

Если выборочные данные представлены в виде статистического ряда {( a_r, _r)}, то выборочные моменты вычисляются по формулам

, .

Для произвольного распределения F и произвольного числа p(0,1) уравнение F(x)=p определяет р-квантиль _p, т.е. F(_p)=p (чтобы решение было однозначным, график F(x) в точках разрыва (когда они есть) дополняют вертикальными отрезками, а в случаях, когда этому уравнению удовлетворяет много значений х, в качестве _p выбирается минимальное) . Выборочная р-квантиль определяется как р-квантиль эмпирической функции распределения , т.е. =p, и является статистическим аналогом _p.

Задачи

1. Дан статистический ряд {(–6, 1), (–5, 4), (–4, 1), (–3, 2), (–2, 3), (–1, 2), (0, 4), (2, 2), (3,1)}. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Ответ: =–1,85; =6,628.

2. Дан статистический ряд

ar	2	5	7	10
r	16	12	8	14

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию.

3. Задан статистический ряд {( a_r, _r) выборки объема n.

1. Пусть u_i=a_i–c,i=1,2,….Доказать, что =с+, D_в(a)=D_в(u).

2. Пусть u_i=ca_i, i=1,2,….Доказать, что D_в(a)=D_в(u)/c².

4. Для статистических рядов

ar	1250	1270	1280
r	2	5	3

ar	340	360	375	380
r	20	50	18	12

ar	0,01	0,04	0,08
r	5	3	2

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, используя задачу 3.

6. Доказать формулы

E=_k, D=(_2k–_k²)/n, cov(,)=(_k+s–_k_s)/n.

(предполагается, что моменты _2k, _k+s конечны). Указание. Воспользоваться независимостью и одинаковой (с величиной ) распределенностью элементов выборки = (X₁,…,X_n)

7. Воспользовавшись неравенством Чебышева, доказать, что при n и любом >0

P{| –_k |>}0.

8. Доказать, что при k2 имеет место представление

.

9. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочной дисперсии.

Указание. Перейти к центрированным величинам Y_i=X_i–₁ и записать D_в в виде

D_в= . Ответ E D_в= ₂, D( D_в)=.

10. Воспользовавшись центральной предельной теоремой и задачей 6, доказать, что при n выборочный момент асимптотически нормален с параметрами, т.е.

.

11. Пусть v_n есть число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p (0<p<1). При больших n вычислить границу _ такую, что . Укладываются ли в эти границы при =0,98 результаты следующего эксперимента: при n=4040 бросаниях монеты наблюдалось 2048 выпадений «герба». Указание: Воспользоваться центральной предельной теоремой, монету считать симметричной. Ответ: _=, q=1–p, определяется уравнением Ф()=(1+)/2, _0,98=0,0183 и соответствие данных теории хорошее.