Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий

Условная вероятностьP{B|A} событияBпри условии, что событиеAпроизошло определяется формулой

Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

(4.1)

Обобщением ее является формула (теорема умножения вероятностей)

. (4.2)

События АиВназываютсянезависимыми, если

. (4.3)

При P{A}>0 можно дать эквивалентное определение независимости событий. СобытияАиВназываютсянезависимыми, если

. (4.3)

События A₁,…, A_nназываютсявзаимно независимыми(илинезависимыми в совокупности, или простонезависимыми), если для всех комбинаций индексов 1i₁<…< i_kn,k=имеем

.

При k=2 событияA₁,…, A_nназываютсяпопарно независимыми.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

События B₁,…,B_nобразуютполную группу событий, еслиB₁,…,B_nпопарно несовместны иP{B₁}+…+P{B_n}=1.

Для любого события Aимеем

(формула полной вероятности) и

,

(формулаБайса).

Схема Бернулли. Полиномиальная схема

Пусть . Элементарное событие=интерпретируется как цепочка исходов вn последовательных испытаниях, каждое из которых имеет m несовместных исходах .

Если положить

,

где p₁+…+ p_m=1, p_l0, l=, то на подмножествах_n однозначно определяется вероятность ,A_n. Построенное вероятностное пространство является математической моделью последовательности n независимых однородных испытаний. Вероятностную модель также называют полиномиальной схемой.

Обозначим через n,i число появлений исхода i в n испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач полезна формула

,

где d_i0, i=, целые иn=d₁+…+ d_m.

Используется обозначение =.

Частный случай полиномиальной схемы с m=2 называют схемой Бернулли. Ниже два исхода каждого исхода в схеме Бернулли будем обозначать 1 и 0 или называть успехом и неудачей, а соответствующие им вероятности– буквами p и q=1– p.

Если _n– число успехов (или число единиц) в n испытаниях Бернулли, то ,k=.

Случайные величины

Пусть задано вероятностное пространство (,,P).

Случайной величиной называется действительная функция от элементарного события =(), , для которой при любом действительном x множество {: ()x} принадлежит (т.е. является событием) и для него определена вероятностьP{: ()x}, записываемая кратко P{x}. Эта вероятность, рассматриваемая как функция x, называется функцией распределения случайной величины  и обозначается F_(x), либо F(x).

С помощью функции распределения F(x) можно однозначно определить вероятность P{B} для борелевских множеств B на числовой прямой. Борелевскими множествами являются множества, полученные из интервалов с помощью счетного числа операций объединения, пересечения и взятия дополнения. Например, интервал (a, b), одноточечные множества {a} и множества вида (a, b], [a, b], [a, b) (a, b могут принимать и бесконечные значения) их конечные и счетные объединения.

Вероятность P{B}, рассматриваемая как функция от борелевского множества B, называется распределением вероятностей случайной величины , иногда законом распределения или просто распределением. В частности, .

Важным классом распределений вероятностей являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые плотностью вероятности _(x)=(x), т.е. такой неотрицательной функции (x), что для любого борелевского множества B

;

в общем случае рассматривается интеграл Лебега, который совпадает с интегралом Римана, если последний существует. В частности,

, , -<x<+, .

Дискретное распределение задается конечным или счетным набором вероятностей P{=x_k}, для которых . Функция распределения в этом случае ступенчатая и задается суммой.

Пусть случайная величина =g(). Тогда P{B}=P{g^–1(B)}, где g^–1(B)– прообраз борелевского множества B при отображении g. Если функция g(x) непрерывна и возрастает, то . Если ещеg(x) дифференцируема и распределение  имеет плотность _(x), то распределение  имеет плотность

.

Замечание. Если функция g(x) в интервале возможных значения  не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция g(x) монотонна, и найти плотность распределения для каждого из интервалов монотонности, а затем представитькак.

Если – дискретная случайная величина, то для определения вероятностей значений  следует сложить вероятности значений , при которых  принимает одинаковые значения.

Некоторые дискретные распределения: а) вырожденное P{= a}=1, a –постоянное; б) гипергеометрическое (параметры n, m, k, j) ; в) биномиальное (параметры n– натуральное, 0p1) ; г)геометрическое с параметром p, 0<p<1, ,k=1,2…; д) пуассоновское с параметром >0 ,k=0, 1, 2…

Некоторые непрерывные распределения: а) равномерное на отрезке [a, b], a< b, (x)=1/(b– a), если axb, (x)=0–иначе; б) показательное с параметром >0 , (x0), (x)=0–иначе.