Производящие и характеристические функции.

Характеристической функцией случайной величины  называется функция действительного переменного t

f_(t)=Ee^it, –<t<+,

в частности, если распределение  абсолютно непрерывно и имеет плотность _(x), то

,

если  –дискретная случайная величина, то

.

Производящей функцией случайной величины  называется функция комплексного переменного z

, |z|1.

Свойства характеристической функции:

1. Если P{||<}=1, то f_(0)=_(1)=1.

2. Если E ||^k< для некоторого целого k1, то ,.

3. Если случайные величины ₁,…, _n независимы, то

, .

В частности, ,.

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Пусть ₁,₂,…_n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причемE_j=a, D_j==²<. Тогда

для любого>0, (1)

Соотношение (1) называется законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если ₁,₂,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, E_n=a, D_n=²< (n=1,2,…),то для любых–<x₁< x₂<,

.

Цепи Маркова. Определение. Марковское свойство.

Цепь Маркова является моделью зависимых испытаний, в которых исход в данном испытание зависит лишь от последнего известного исхода и не зависит от более далекого прошлого. Обычно исходы в цепях Маркова называются состояниями цепи Маркова.

Будем считать, что nсостояний цепи Маркова занумерованы числами 1, 2,…,n. Элементарным событием вmиспытаниях цепи Маркова является цепочки состояний, или исходов, длиныm+1, описывающие начальное состояние и результатыmиспытаний: (i₀, i₁,…, i_m). Здесь исходi_tможет при любомt(t=) может принимать любое значение 1, 2,…,n. Таким образом, множество элементарных событий

_m={ (i₀, i₁,…, i_m):i_t=,t=}.

Если обозначить A_tисход в испытанииtцепи Маркова, то условие независимости от более далекого прошлого можно записать в виде

P(A_t+1| A₀…A_t)= P(A_t+1| A_t), t= . (1)

Иногда номер испытания называют моментом времени.

Мы будем предполагать, что цепь Маркова однородна во времени. Пусть событием A_tявляется наступление исходаiвt-м испытании, аA_t+1является наступление исходаjв (t+1)-м испытании. В этом случаеP(A_t+1|A_t)=p_ij,t=. Вероятностьp_ijявляется условной вероятностью того, что в испытанииt+1 состоянием цепи Маркова былоj, если в моментtсостояниемi. Эти вероятности называютсявероятностями перехода или переходными вероятностями.

Если задать вероятности q₀,…, q_nначальных состояний (состояний перед началом испытаний) цепи Маркова и переходные вероятностиp_ij(i,j=), то

P(i₀, i₁,…, i_m)=.

Для задания вероятностей достаточно задать матрицу вероятностей перехода

,p_ij0,, (i,j=)

и вектор начальных состояний(q₀,…, q_n),q_j0,j=,.

Цепи Маркова 2

Пусть _t (t=0, 1, 2,…) состояние однородной цепи Маркова в моментt. Положимp_ij(t)=P{_t=j|₀=i}. Тогда (системы уравнений Колмогорова)

.

Обозначим P(t) матрицу вероятностей переходаp_ij(t):

.

Тогда P(t+s)=P(t)P(s),P(t)=P^t, гдеP=P(1) – матрица вероятностей перехода за один шаг.

Теорема.Если при некотором t₀>0 все элементы матрицы положительны, то существуют положительные пределы

и не зависят от начального состояния. Предельные вероятности удовлетворяют системе уравнений

Распределение ₁,…,_nназываетсястационарным распределением.

Обозначим _j(t) время пребывания, или число попаданий в состояниеj, цепи Маркова за времяt. Будем говорить, что частота_j(t)/tпопадания в состояниеjудовлетворяет закону больших чисел, если для любого>0 приt

.

При изучении величины _j(t) часто оказывается полезным ее представление в виде суммы:

_j(t)= _j(1)+ _j(2)+…+ _j(t),

где  _j(s)=1, если в моментs(s=) состоянием цепи былоj, и _j(s)=0 в противном случае.