Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 11. Функция распределения системы двух случайных величин

11. Функция распределения системы двух случайных величин.

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, - дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин, изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными,…, n-мерными. Будем обозначать через (X,Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой): обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему n случайных

величин. Например, любую точку на координатной плоскости XOY можно рассматривать как двумерную случайную величину с компонентами (координатами) X и Y; любую точку в трехмерном пространстве – как

трехмерную случайную величину с компонентами X, Y и Z. Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть (x,y) – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, обозначим через F(x,y). Если x и y будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(x,y), т. е. F(x,y) есть функция от x и y.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x, y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y: F(x,y) = P( X<x, Y<y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), расположенной левее и ниже этой вершины.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

Свойство 2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y), если x2> x1 ;

F(x ,y2) ≥ F(x ,y1), если y2> y1.

Доказательство. Докажем, что F(x,y) – неубывающая функция по аргументу x. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение, меньшее x2, и при этом составляющая Y < y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X примет значение, меньшее x1 , и при этом Y < y с вероятностью P(X< x1,Y<y);

2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1 ≤ X < x2 , и при этом Y<y с вероятностью P(x1≤X< x2, Y<y).

По теореме сложения,

P(X< x2, Y<y) = P(X< x1, Y<y) + P(x1≤X< x2, Y<y).

Отсюда

P(X< x2, Y<y) - P(X< x1, Y<y) = P(x1≤X< x2, Y<y),

или

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) = P(x1≤X< x2, Y<y).

Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому

F(x2 ,y) - F(x1 ,y) ≥ 0, или F(x2 ,y) ≥ F(x1 ,y),

что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (x;y). При возрастании x правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания

случайной точки в новый квадрант, очевидно, не может уменьшиться. Аналогично доказывается, что F(x,y) есть неубывающая функция по

аргументу y.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞ , y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞ , -∞) = 0, 4) F(∞ , ∞) = 1.

Доказательство

1) F(-∞ , y) есть вероятность события X < -∞ и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X < -∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю. Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Событие Y < -∞ невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) Событие X < -∞ невозможно, поэтому F(-∞ , -∞) = 0.

4) Событие X < ∞ и Y < ∞ достоверно, следовательно, вероятность этого

события F(∞ , ∞) = 1.

Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при x→∞ и y→∞ бесконечный квадрант превращается во всю плоскость xOy и, следовательно, попадание случайной точки (X;Y) в эту плоскость есть достоверное событие.

Свойство 4

а) При y = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F(x, ∞) = F1(x).

б) При x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:

F(∞, y) = F2(y).

Доказательство.

а) Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) определяет вероятность события X < x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

б) Доказывается аналогично.