Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 05. Независимость по совокупности. Формула полной вероятности (вывод)
.doc-
Независимость по совокупности. Формула полной вероятности (вывод).
Р(Аi)P(Aj)=P(AiAj)
P(Ai)P(Aj)P(Ak)=H(AiAjAk)
……………………………….
P(Ai)P(Aj)…….P(An)=P(AiAj…….An)
Если в данном примере выполняются все эти условия, то событие называется независимым по совокупности.
Например, если при проверке этих условий, не выполняется равенство в какой-то паре, то говорится, что событие имеет попарную зависимость.
Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий
Н1, Н2,…..Нn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
Докажем, что в этом случае
Р(А)=∑(от i=1 до n)Р(Нi)Р(А/Нi), (формула полной вероятности)
Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Доказательство.
Т.к. гипотезы Н1, Н2,…..Нn образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:
А=Н1А+Н2А+…..+НnА
Так как гипотезы Н1, Н2,…..Нn несовместны, то и комбинации Н1А+Н2А+…..+НnА также несовместны; применяя к ним теорему сложения получим:
Р(А)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+ …..+Р(НnА)=∑(от i=1 до n)Р(НiА)
Применяя к событию НiА теорему умножения, получим:
Р(А)=∑(от i=1 до n)Р(Нi)Р(А/Нi)
Что и требовалось доказать.