Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 27 Точечная и интервальная оценка. Доверительный интеграл

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ

- функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич. постоянные, а в качестве случайных величин - результаты непосредственных измерений, подверженные случайным ошибкам. Напр., если  - независимые одинаково нормально распределенные случайные величины (результаты равноточных измерений, подверженных независимым нормально распределенным случайным ошибкам), то в качестве О. с. для неизвестного среднего значения а (приближенного значения измеряемой физич. постоянной) применяется среднее арифметическое 

О. с. как функция от случайных величин чаще всего задается теми или иными формулами, выбор к-рых определяется требованиями практики. При этом различают оценки точечные и оценки интервальные.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.   ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

    

X = (x₁+x₂+...+x_n)/n,

     где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);       x₁,x₂,...x_n - выборочные значения; n - объем выборки.       ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.       Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.      Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

     Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X - T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max - нижняя и верхняя границы интервала;      X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);      n - объем выборки;      T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (x_n - X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

Свойства точечных оценок

• Оценка  называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

,

где  обозначает математическое ожидание в предположении, что θ — истинное значение параметра (распределения выборки X).

• Оценка  называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.

• Оценка  называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: ,

 по вероятности при .

• Оценка  называется сильно состоятельной, если ,

 почти наверное при .