Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 31 Интервальная оценка математического ожидания для случая известной дисперсии

 

Интервальная оценка математического ожидания для случая известной  дисперсии. Точечная оценка не позволяет определить, с какой вероятностью полученная величина оценки соответствуют истинному значению характеристики генеральной совокупности. Чтобы ответить на этот вопрос вводят понятие интервальной оценки.

Пусть - истинное среднее генеральной совокупности, - точечная оценка , полученная по формуле (2.10). Введем доверительный интервал

 

                                                                                                                   (2.15)

 

где - некоторое произвольное число, назначенное исследователем. Введем также доверительную вероятность  как вероятность того, что истинное значение среднего  попадет в записанный выше доверительный интервал, т.е.

                                                                                             (2.16)

 

Чтобы вычислить  перейдем от абсолютных величин  и  к ошибкам в определении среднего  для чего вычтем  из всех частей неравенства (2.16). В результате получим

                             (2.17)

 

Подставим в последнее соотношение  и с учетом того, что величина выборочного среднего  распределена по нормальному закону  ,

 

 

                                               (2.18)

 

Отсюда

                                                                       (2.19)

 

Здесь  - интеграл вероятности, который имеет вид

                                                                                                       (2.20)

 

Обозначим  вероятность того, что истинное значение  выйдет за пределы доверительного интервала. Эта  вероятность называется уровнем значимости. Поскольку выход за пределы доверительного интервала возможен как справа, так и слева от его границ с одинаковой вероятностью, равной , из (2.19) следует соотношение

 

                                                                                                               (2.21)

 

Обозначим  - квантиль уровня  стандартного гауссовского распределения (распределение, для которого среднее значение равно нулю, дисперсия – единице). По определению квантиль удовлетворяет уравнению

                                                                                     (2.22)

 

Из (2.21) и (2.22) следует

                                                                                                                          (2.23)

Отсюда

                                                                                                                       (2.24)

 

Подставив (2.24)  в  (2.16), получим выражение для доверительного интервала

 

                                                                                               (2.25)

Или с учетом (2.13)

                                                                               (2.26)

 

Здесь -  среднеквадратическое значение одиночного измерения.

Последнее соотношение в соответствии с ГОСТ Р 50779.21 – 96 называется интервальной оценкой генеральной средней, полученной по гауссовской выборке объема n для случая известной дисперсии.

 

Физический смысл этой оценки поясним следующим примером. Зададим уровень значимости . Отсюда следует  = 3. В результате образуется доверительный интервал шириной ,

 

куда величина неизвестного генерального среднего  входит с вероятностью 1-0.0027=0.997.