Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 37 Эргодическое свойство

37. Эргодическое свойство.

Эргодичность — специальное свойство некоторых изменяющихся (динамических) систем, состоящее в том, что в процессе эволюции эргодичной системы почти каждая точка её с определённой вероятностью проходит вблизи любой другой точки системы. Тогда при расчетах труднорассчитываемое время можно заменить фазовыми (пространственными) показателями. Система, в которой фазовые средние совпадают с временными, называется эргодической.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы, рыночная цена компании — это мера производных функций от данных бухгалтерской отчетности. Естественно, предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам.

Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.

Определение. Стационарный с.п. X(t) называется эргодическим относи-

тельно математического ожидания mX , если для любой его реализации x (t )

T

1

m X = lim ∫ x( s )ds . (6)

T → +∞ T

0

Стационарный с.п X(t) называется эргодическим относительно корреля-

ционной функции kX(τ), если для любой его реализации x (t )

T

1

k X (τ ) = lim ∫ ( x(t ) − m X )( x(t + τ ) − m X )dt . (7)

T →+∞ T

0