Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 23. Понятие распределения Стьюдента, и графический вид
.pdf
23. Понятие распределения χ2 и Стьюдента, и графический вид.
Распределение Стьюдента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Определение:
Пусть 
— независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что 
. Тогда распределение случайной величины 
, где
называется распределением Стьюдента с 
степенями свободы. Пишут 
. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
, где 
— гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента:
Распределение Стьюдента симметрично. В частности если 
, то 
.
Моменты:
Случайная величина 
имеет только моменты порядков 
, причём
, если 
нечётно;
, если 
чётно. В частности,
,
, если 
.
Моменты порядков 
не определены.
Связь с другими распределениями:
Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
.
Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при 
. Пусть дана последовательность случайных величин 
, где 
. Тогда
по распределению при 
.
Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть t˜t(n). Тогда t2˜F(1,n).
Применение распределения Стьюдента:
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть 
независимые случайные величины, такие
что 
. Обозначим 
выборочное среднее этой выборки, а S2 еёвыборочную дисперсию. Тогда
.
Плотность вероятности: |
Функция распределения: |