Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 30. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии

30. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной диcперсии

 

Итак, Х ~ N(а,σ), причем числовые значения ни а, ни σ² не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а:  и оценку

параметра σ².

Построение интервальной оценки для а основано на статистике:

,

которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(а,σ) имеет распределение Стьюдента с (п – 1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства (1.12) и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

.

Решая неравенство:

относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство:

                                       

,                                 (1.17)

 

и ошибка оценки  при неизвестном значении параметра σ²

 

                                        ,                                             (1.18)

 

где число  находят по прил. 4 при k = п – 1 и р = α.

Замечание. При k = n – 1 > 30 случайная величина t(k) имеет распределение, близкое к N(0; 1), поэтому с вероятностью ≈γ

 

,                            (1.19)

 

где Ф(u_а) = γ/2.

 

Пример:

Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают 77,5 человек при среднем квадратичном отклонении s = 25 человек. Пользуясь 95%-ным доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее число работающих в отрасли. Предполагается, что количество работников фирмы имеет нормальное распределение.

Решение. При k = п – 1 = 18 и р = γ = 0,95, α = 0,05 найдем в прил. 4  t_0,05 = 2,10. Доверительный интервал (1.17) примет вид: (65,5; 89,5). С вероятностью 95 % можно утверждать, что этот интервал накроет среднее число работающих в фирме по всей отрасли. Тогда доверительный интервал для числа работающих в отрасли в целом таков: (1200 – 65,5;1200 + 89,5) или (1134,5; 1289,5).