Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 17. Корреляционный момент и его свойства. Коэффициент корреляции

17. Корреляционный момент и его свойства. В коэффициент корреляции (доказательства, что - |≤r_xy≤| и r_xy=±1, если линейная зависимость между случайными величинами).

Свойства коэффициента корреляции:

Неравенство Коши — Буняковского:

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию , то норма случайной величины будет равна , и следствием неравенства Коши — Буняковского будет:

.

Коэффициент корреляции равен  тогда и только тогда, когда X и Y линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин):

,

где . Более того в этом случае знаки  и k совпадают:

.

Если X,Y независимые случайные величины, то . Обратное в общем случае неверно.

Момент корреляции:

Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:

                                         K_xy = μ_1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))).                               (9.8)

Для дискретных случайных величин:

     

для непрерывных случайных величин:

          

Коэффициент корреляции:  Как мы знаем, если  и  - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания (§ 4, п. 1)

Если же  и  не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,   

Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин  и  принять безразмерную величину , определяемую соотношением.

и называемую коэффициентом корреляции.  Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции.  Если  и  - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.  Это свойство непосредственно вытекает из соотношений (72) и (73). Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если , то отсюда еще не следует, что  и  независимы.  Заметим без доказательства, что . При этом если , то между случайными величинами  и  имеет место функциональная, а именно линейная зависимость.  Замечание. Как мы видели (§ 3, п. 6), двумерная случайная величина  распределена нормально, если плотность  распределения системы величин  и имеет вид   

Можно показать, что постоянная R равна коэффициенту корреляции величин  и , т.е. . Следует заметить, что в случае, когда система величин  и распределена нормально и коэффициент корреляции , то величины  и  независимы