Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 36. Стационарные случайные функции. Определение в «узком» и «широком» смысле. Понятие «Белого шума»

36. Стационарные случайные функции. Определение в «узком» и «широком» смысле. Понятие «Белого шума».

Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты. Другое определение:

Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Определение:

Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство  случайных величин

,

где T произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология:

Если , то параметр  может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {X_t} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью.

Если , где , то параметр  может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случайным полем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".

Классификация:

Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1, t2,…,tn, число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход их состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная величина: 1.а. дискретное время, дискретное состояние, 1.б. непрерывное время, дискретное состояние, 2.а. дискретное время, непрерывное состояние, 2.б. непрерывное время, непрерывное состояние. Случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.

Траектория случайного процесса:

Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного  X_t — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход , то  — детерминистическая функция параметра t. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции {X_t}.

Примеры:

, где  называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.

Пусть , и Y — случайная величина. Тогда

является случайным процессом.