Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 8. Функция распределения и ее свойства

8. Функция распределения и ее свойства.

Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина  примет значение, меньшее х, т. е.

Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения. 

Рассмотрим основные свойства функции распределения. 

1) Функция распределения является неубывающей.  В самом деле, пусть <. Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы (19) следует, что , т.е. .  2) Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .  Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность. Ясно, что *  и .  3) Вероятность того, что дискретная случайная величина  примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi.  Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая , , получим: В пределе при  вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина  примет данное значение xi:

 C другой стороны, получаем:

 

, т.е. предел функции F(x) справа, так как .