Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие 2 (теорема Бернулли) из теоремы Чебышева

25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие 2 (теорема Бернулли) из теоремы Чебышева.

Теорема Бернулли:

Если Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где q = 1-p

Докаказательство:

Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: где q = 1-p

= Эта теорема скорее всего не так, правильные скорее всего, которые внизу!

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема Чебышева:

Пусть случайные величины последовательности (2) таковы, что:

1) Они попарно независимы.

2) Имеют конечное математическое ожидание.

3) Имеют равномерно ограниченные дисперсии

Тогда к последовательности применим закон больших чисел.

Доказательство:

Оценим дисперсию:

Применим неравенство (1):

Левую часть выразим через вероятность противоположного события:

Умножим обе части на (-1):

С другой стороны:

На основании двух предыдущих формул получаем формулу (3)

Теорема Бернулли:

Относительная частота события “А” в вероятностном смысле сходится к вероятности этого события:

  (4)

Доказательство:

С каждым испытанием свяжем случайную величину .

Тогда число наступлений события “А” в “n” независимых испытаний будет равно:

Покажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел (равенство 3). Проверим выполнение условий теоремы Чебышева:

1) – попарно независимы.

2)

3)

Таким образом в силу теоремы Чебышева к последовательности случайных величин {} применим закон больших чисел, выражаемый равенством (3). В данном случае среднее арифметическое:   – относительная частота.

В силу (3) получаем равенство (4).

Теорема доказана.