Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики

20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.

Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n с вероятностями

где 0<p<1, q=1-p, m=0, 1, 2, ..., n.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X=m наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

xi	0	1	2	...	m	...	n
pi	qn			...		...	pn

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

(отсюда и название закона - биномиальный).

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для  p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по биномиальному закону, M(X)=np, а её дисперсия D(X)=npq.

Доказательство:

Случайную величину X - число m наступлений события A в n независимых испытаниях - можно представить в виде суммы n независимых случайных величинX₁+X₂+...+X_n, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, т. е.

где Xk:	xi	0	1
	pi	p	q

Случайная величина X_k выражает число наступлений события A в k-м испытании (k=1, 2, ..., n), то есть при наступлении события A X_k=1 с вероятностью p, при ненаступлении - X_k=0с вероятностью q. Случайную величину X_k называют альтернативной  случайной величиной (или распределённой по закону Бернулли, или индикатором события A).

Математическое ожидание и дисперсию альтернативной случайной величины найдём по известным формулам.

так как p+q=1.

Теперь математическое ожидание и дисперсия случайной величины  X:

(при нахождении математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин учтена их независимость).

Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью p, равно p, т. е.

а её дисперсия:

Наивероятнейшее число наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, удовлетворяет неравенству  np-q≤m₀≤np+p. Это означает, что мода случайной величины, распределённой по биномиальному закону, - число целое - находится из того же неравенства np-q≤M₀(X)≤np+p.

Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.