Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие 2 (теорема Бернулли) из теоремы Чебышева
..pdf25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие 2 (теорема Бернулли) из теоремы Чебышева.
Теорема Бернулли:
Если Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: 
где q = 1-p
Докаказательство:
Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью 
.
Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: 
где q = 1-p
= Эта теорема скорее всего не так, правильные скорее всего, которые внизу!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теорема Чебышева:
Пусть случайные величины 
последовательности (2) таковы, что:
1)Они попарно независимы.
2)Имеют конечное математическое ожидание.
3)Имеют равномерно ограниченные дисперсии 
Тогда к последовательности применим закон больших чисел.
Доказательство:
Оценим дисперсию:
Применим неравенство (1):
Левую часть выразим через вероятность противоположного события:
Умножим обе части на (-1):
С другой стороны:
На основании двух предыдущих формул получаем формулу (3)
Теорема Бернулли:
Относительная частота события “А” в вероятностном смысле сходится к вероятности этого события:
(4)
Доказательство:
С каждым испытанием свяжем случайную величину 
.
Тогда число наступлений события “А” в “n” независимых испытаний будет равно:
Покажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел (равенство 3). Проверим выполнение условий теоремы Чебышева:
1) 
– попарно независимы.
2) 
3) 
Таким образом в силу теоремы Чебышева к последовательности случайных величин {
} применим закон больших чисел, выражаемый равенством (3). В данном случае среднее арифметическое:
– относительная частота.
В силу (3) получаем равенство (4).
Теорема доказана.