Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики
..pdf
20. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.
Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n с вероятностями
где 0<p<1, q=1-p, m=0, 1, 2, ..., n.
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения
числа X=m наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
|
xi |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
... |
|
m |
|
... |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
qn |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда
распределения 
выполнено, ибо 
есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:
(отсюда и название закона - биномиальный).
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по биномиальному закону, M(X)=np, а её дисперсия D(X)=npq.
Доказательство:
Случайную величину X - число m наступлений события A в n независимых испытаниях - можно представить в виде суммы n независимых случайных величинX1+X2+...+Xn, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, т. е.
где Xk: |
|
xi |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайная величина Xk выражает число наступлений события A в k-м испытании (k=1, 2, ..., n), то есть при наступлении события A Xk=1 с вероятностью p, при ненаступлении - Xk=0с вероятностью q. Случайную величину Xk называют альтернативной случайной величиной (или распределённой по закону Бернулли, или индикатором события A).
Математическое ожидание и дисперсию альтернативной случайной величины найдём по известным формулам.
так как p+q=1.
Теперь математическое ожидание и дисперсия случайной величины X:
(при нахождении математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин учтена их независимость).
Следствие. Математическое ожидание частости 
события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью p, равно p, т. е.
а её дисперсия:
Наивероятнейшее число наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, удовлетворяет неравенству
np-q≤m0≤np+p. Это означает, что мода случайной величины, распределённой по биномиальному закону, - число целое - находится из того же неравенства np-q≤M0(X)≤np+p.
Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.