Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 2. Классическая, статистическая и геометрическая вероятность

2. Классическая, статистическая и геометрическая вероятность.

Классическая вероятность:

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности. 

Пример: На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.  Решение: Число стандартных подшипников равно 1000—30=970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N=1000 равновероятных исходов, из которых событию A благоприятствуют М=970 исходов. Поэтому P(A)=M/N=970/1000=0.97 

Статистическая вероятность:

Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей, которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.

Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.

w(A)=nm

Относительная частота события обладает свойством устойчивости:

limn→∞P(∣ ∣  nm−p∣ ∣  <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

Геометрическая вероятность:

Определение геометрической вероятности используется в задачах, когда общее и благоприятное число исходов бесконечно.

Бросается наудачу точка в область G. Найти вероятность того, что точка попадет в область g (множество g с квадрируемой границей).

Вероятность в этом случае будет вычисляться по формуле

p=mes(g)mes(G)

x, y находится в [0;60] (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G.

Пример: Два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение:

Пусть x - момент времени прихода первого студента

Пусть y - момент времени прихода второго студента

x, y находится в промежутке [0;60] (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G.

|x-y| ≤20 (определение того, что студент пришедший первым ждет второго не больше 20 минут) - задает область g.

Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом.

Тогда вероятность будет считаться как отношение площадей двух областей g и G. p(A)=60*6060*60−40*40=94