Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 15. Понятие моментов. Основные свойства

15. Понятие моментов. Основные свойства.

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

-м начальным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

-м центральным моментом случайной величины называется величина

-м абсолютным и - м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины

и

-м факториальным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых k, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Основные свойства моментов случайных величин:

1) M[c] =∫ (c) f(x)dx = c ∫f(x)dx = c

2) M[cx]=∫ cx f(x)dx= c ∫ x f(x)dx = c Mx

3) M[cx+k] = cMx+k

4) M[x1+x2+x3+...+Xn] = ∑ Mx1

5) M[x1,x2,x3,...,xn] = ∏ Mx1

6) D[c] = ∫((c-m(c))^2) f(x)dx=∫((c-c)^2) f(x)dx=0

7) D[cx]= M[((cx-m(cx))^2)]= (c^2) Dx

8) D[x+- y]= Dx + Dy +- 2M[x,y]