Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 23. Понятие распределения Стьюдента, и графический вид

23. Понятие распределения χ² и Стьюдента, и графический вид.

Распределение Стьюдента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение:

Пусть  — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с  степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где  — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента:

Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то .

Моменты:

Случайная величина  имеет только моменты порядков , причём

, если  нечётно;

, если  чётно.

В частности,

,

, если .

Моменты порядков  не определены.

Связь с другими распределениями:

Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда

 по распределению при .

Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть t˜t(n). Тогда t²˜F(1,n).

Применение распределения Стьюдента:

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть  независимые случайные величины, такие что . Обозначим  выборочное среднее этой выборки, а S² еёвыборочную дисперсию. Тогда

.

Плотность вероятности: Функция распределения: