Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 22. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики

22. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики.

СВНТ называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами m Î R и s > 0, если ПР задается формулой:

Тогда ПР f(x) и ФР F(x) такой СВ имеют следующий вид:

Ф(х) =

Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, σ), т.е. Х ~ N(m, s). Параметры m и s совпадают с основными характеристиками распределения: m = mX, s = sХ = DX . Если СВ Х ~ N(0, 1), то она называется

стандартизованной нормальной величиной. Функция Распределения стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x). С ее помощью можно вычислять

При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х), то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P( |X - mX| < e ) = 2×Ф(e/s) - 1.

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: mn+2 = (n+1)s2mn, n = 1, 2, ... . Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как m1 = 0).