Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 26. Понятие выборки. Вариационный ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения. Гистограмма
..pdf
26. Понятие выборки. Вариационный ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения. Гистограмма.
Понятие выборки - одно из основных в комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике, а подсчет числа выборок исторически был одной из первых задач комбинаторики. В типичных задачах по теории вероятностей подсчитывается число различных вариантов (выборок), а через них и вероятностей событий, связанных в большинстве случаев с бросанием монеты, кубика или со случайным выбором шаров из урны. Одним из первых занялся подсчетом различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Приведем здесь одну из таких задач.
Пример 1. На какую сумму очков, выпадающих при подбрасываниях двух костей, разумно сделать ставку?
Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения.
2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2 = 2 + 1; 4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2; 5 = 1 + 4 = 4 + 1 = 2 + 3 = 3 + 2;
6 = 1 + 5 = 5 + 1 = 2 + 4 = 4 + 2 = 3 + 3; 7 = 1 + 6 = 6 + 1 = 2 + 5 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4;
8 = 2 + 6 = 6 + 2 = 3 + 5 = 5 + 3 = 4 + 4; 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4;
10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5; 11 = 5 + 6 = 6 + 5; 12 = 6 + 6.
Откуда видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение в сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр - определения, сколькими способами можно получить данное число очков, бросая несколько костей, как в предыдущем примере, или сколькими способами можно получить тот или иной набор карт. Размышления над анализом азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теорией вероятностей. Такой подход логично продолжить и для рассмотрения современных игр.
Вариационный ряд
Вариационный ряд — упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины:
равные между собой элементы выборки нумеруются в произвольном порядке; элементы вариационного ряда называются порядковыми (ранговыми) статистиками; число λm =m / n называется рангом порядковой
статистики 
Вариационный ряд используется для построения эмпирической функции распределения. Если элементы вариационного ряда независимы и имеют общую плотность распределения f, то совместная плотность распределения элементов вариационного ряда имеет вид:
Полигон частот и гистограмма
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки 
. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат –
соответствующие им частоты 
и соединяют точки 
отрезками прямых.
Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты 
.
В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для
каждого частичного интервала 
– сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой
служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению 
. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси
абсцисс на расстоянии (высоте) 
. Площадь i–го прямоугольника равна 
– сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты 
, на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте 
.
Площадь i–го прямоугольника равна относительной частоте вариант 
, попавших в i–й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
Выборочная функция распределения:
Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Пусть 
- выборка из распределения случайной величины 
, задаваемого функцией распределения 
. Будем считать, что 
, где 
, -независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов Ω. Пусть 
. Определим случайную
величину 
следующим образом:
,
где 
- индикатор события 
, 
- функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке 
равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение 
. Случайная величина 
называется выборочной функцией распределения случайной величины 
и является аппроксимацией для функции 
. Существует результат, показывающий, что при 
функция 
равномерно сходится к 
, и указывающий скорость сходимости.