Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / 22. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики

22. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики.

СВНТ называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами m  R и   0, если ПР задается формулой:

f(x) = -  x  +.

Тогда ПР f(x) и ФР F(x) такой СВ имеют следующий вид:

Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, ), т.е. Х  N(m, ). Параметры m и  совпадают с основными характеристиками распределения: m = m_X,  = _Х = . Если СВ Х  N(0, 1), то она называется стандартизованной нормальной величиной. Функция Распределения стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x). С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, ):

P(x₁  X  x₂) = Ф - Ф.

При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х), то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P( X - m_X   ) = 2Ф(/) - 1.

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: _n+2 = (n+1)²_n, n = 1, 2, ... . Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как ₁ = 0).