5. Операции над событиями

5.1. Теорема умножения вероятностей

5.1.1. Условная вероятность

При совместном рассмотрении двух событий А и В часто возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми.

• Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В.

Пример.

Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, наугад, друг за другом, вынимают два шара. Даны события: А: {первый шар – белый}, В: {второй шар – белый}.

Найти условные вероятности .

Решение. Во-первых, заметим, что : {первый шар – черный}, : {второй шар – черный}. Найдем P(B/A). Событие А уже произошло, то есть первый шар вынут и он – белый. Требуется найти вероятность того, что второй шар – белый. В урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому . Рассуждая аналогично, находим .

Ответ:7/19; 12/19; 8/19; 11/19.

5.1.2. Вероятность произведения независимых событий

• Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

• Произведением независимых событий А и В называется событие С = А·В, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.

Теорема 1. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

.

Примеры.

1. Найти вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет.

Решение. Событие А: {выпадение герба на первой монете}, В: {выпадение герба на второй монете}. Тогда событие С: {выпадение герба на двух монетах} запишется формулой С = АВ. Так как события А и В независимые, то по теореме 1 получим

.

Ответ:1/4.

2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение. Событие А: {появление белого шара из первого ящика}; В: {появление белого шара из второго ящика}. Тогда событие : {появление белого шара и из первого, и из второго ящика}. Так как события А и В – независимые, то, применим формулу из теоремы 1, получим:

.

Ответ:1/9.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,8; для второго 0,3; для третьего – 0,9. Какова вероятность того, что в мишени будет три пробоины (каждый стрелок делает по одному выстрелу)?

Решение. Пусть событие А: {попадание в цель первого стрелка}; В: {попадание в цель второго стрелка}, С: {попадание в цель третьего стрелка}. Тогда, событие D = АВС: {в мишени будет три пробоины}. Так как события А, В, С – независимые, то по формуле из теоремы 1, получим:

Ответ: 0,504.

5.1.3. Вероятность произведения зависимых событий

Пусть даны два зависимых события: А и В.

Теорема 2. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

P(AB)=P(A)·P(B/A).

Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Примеры.

1. Имеется конфетница, содержащая 6 конфет: 3 шоколадных и 3 карамели, и из неё наугад берут 2 конфеты. Какова вероятность, что обе они окажутся шоколадными?

Решение. Пусть событие А: {первая конфета шоколадная}, В: {вторая конфета шоколадная}, С: {обе конфеты шоколадные}. События А, В, С связаны формулой . Так как А и В– зависимые события (какой будет вторая конфета зависит от того, какой была первая), то по теореме 2 имеем:

Р(АВ)=Р(А)Р

Однако легко переформулировать задачу так, чтобы события стали независимыми. Пусть имеется вторая такая же конфетница, и одна конфета тянется из первой конфетницы, а другая – из второй. Тогда события А и В независимы и вероятность вынуть две шоколадные конфеты равна

Ответ: 1/5.

2. В урне имеется 7 белых и 8 чёрных шаров. Наудачу последовательно, без возвращения, извлекают по одному шару до появления чёрного. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение.

Решение. Событие А: {придётся производить четвёртое извлечение}; событие : {первый вынутый шар – белый}; : {второй вынутый шар – белый}; : {третий вынутый шар – белый}.

Событие А произойдёт, если произойдут события , причем эти события – зависимые, тогда, используя следствие к теореме 2, получим:

Ответ:

3. Из 20 вопросов студент знает 16. Какова вероятность того, что он правильно ответит на 2 зачетных вопроса?

Решение. Пусть событие А: {студент знает ответ на первый вопрос}; событие В: {студент знает ответ на второй вопрос}. Тогда событие С = АВ: {студент правильно ответит на два вопроса}. Так как события А и В зависимые, то применим теорему 2:

.

,

,

.

Ответ: 0,63.