4. Геометрическая вероятность
Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень разбита на 4 сектора и вращается вокруг центра (рис. 9).
|
Рис. 9.
Стрелок стреляет в мишень один раз. Какова вероятность, что он попадет в сектор ОАВ? Здесь классическое определение не работает, так как каждое событие изображается точкой круга, а их – бесконечное множество.
Классическое
определение вероятности нельзя применить
к случаю, когда число исходов бесконечно,
то есть
.
К описанию такой ситуации приспособлено
геометрическое определение вероятности,
то есть вероятность попадания точки в
область.
Вероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий.
В качестве меры могут выступать длина, площадь, объем, время, вес и т.п.
Пусть отрезок
составляет часть отрезка L.
Тогда вероятность попадания точки на
отрезок
равна:
.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . Тогда вероятность попадания точки в фигуру равна:
.
Решение примера, данного в начале параграфа, имеет следующий вид. Вероятность попадания в сектор ОАВ будет равна отношению площади сектора ОАВ к площади всего круга.
.
Аналогично,
вероятность попадания точки в
пространственную фигуру
,
которая составляет часть фигуры V
, равна:
Примеры.
1. На отрезке AB = 30 см помещен меньший отрезок CD = 15 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок.
Решение. Сделаем схематический чертеж к условию задачи (рис.10).
Рис. 10.
Пусть событие А: {поставленная точка попадет на меньший отрезок}.
Воспользуемся первой формулой и обозначениями на рис. 10 получим:
.
Ответ: 0,5.
2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образуемое построенными окружностями.
Решение.
Рис. 11. |
Пусть событие А: {брошенная точка попадет в кольцо, образованное двумя окружностями}. Множество точек, благоприятствующих событию А, находятся между двумя окружностями, поэтому вычислим площадь данного кольца (рис. 11).
|
.
.
.
Тогда
воспользуемся второй формулой
.
Ответ: 0,75.
3. Два приятеля договорились встретиться в установленном месте в промежутке времени от 6 до 7 час. По взаимному согласию, каждый приходит на место встречи в случайный момент времени и ждет другого ровно 10 мин. Какова вероятность того, что они встретиться?
Решение.
Пусть x
– момент прихода на место первого
приятеля; y
– второго.
В прямоугольной системе координат Oxy
возьмем за начало отсчета 6 ч, а за единицу
измерения –
1 ч. По условию,
.
Этим неравенствам удовлетворяют
координаты любой точки, принадлежащей
квадрату со стороной, равной 1, изображенной
на рис. 12. Событие А:
{встреча
двух приятелей} произойдет, если разность
между x
и y
не превзойдет
ч (по абсолютной величине), то есть
(заштрихованная область).
,
так
как площадь заштрихованной области
равна площади квадрата без суммы площадей
двух угловых треугольников
(незаштрихованных).
Рис. 12.
Ответ: 0,3.
Задачи для самостоятельного решения
Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного тругольника. (а)
б)
).Точка взята наудачу внутри круга радиуса R . Найти вероятность того, что точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r ( r < R).
.На отрезке ОА длины
числовой оси Ox
наудачу нанесена точка В(x).
Найти вероятность того, что отрезки
ОВ
и ВА
имеют длину, большую
.
.Противник в течение часа делает один 10 минутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка 5 мин? (0,77).
Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше 1-го, а частное y/x не больше 2-х? (0,38).