3. Классическоеопределение вероятности
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, что такие события, как «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из n приобретённых билетов» лотереи – обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определённая мера.
Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.
Это определение отражает понятие вероятности события качественно. Необходимо определить его количественно.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих событию А исходов к общему числу исходов:
Примеры.
1. Подбрасывают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит 7;
б) произведение числа очков не превосходит 7.
Решение: а) событие А: {сумма числа очков на верхних гранях двух игральных костей не превосходит 7}.
При
бросании одной игральной кости возможны
6 исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков,
и при бросании второй игральной кости
- 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Тогда по
принципу умножения при бросании двух
игральных костей возможны
исходов, то есть
.
Составим табл. 1 сложения, в первой строке – возможные исходы при бросании одной игральной кости, а в первом – столбце другой:
+ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Табл. 1. Сложения
Из
табл. 1 видно, что число исходов,
благоприятствующих событию А,
равно 21, то есть
.
Тогда, используя классическое определение
вероятности
,
получим:
,
;
б) событие В: {произведение числа очков не превосходит 7}.
Аналогично пункту а), .
Составим табл. 2 умножения: в первой строке – возможные исходы при бросании одной игральной кости, а в первом – столбце другой:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
3 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
4 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
5 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
6 |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
Табл. 2. Умножения
Из
табл. 2 видно, что число случаев
благоприятствующих событию В,
равно 14, то есть
.
Тогда, используя классическое определение
вероятности
,
получим
.
Ответ:
,
.
2. В урне 14 белых и 6 черных шаров. Из нее наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар – черный.
Решение.
Пусть событие
А:
{извлечен черный шар}. Так как в урне
всего шаров 14 + 6=20, то общее число исходов
равно 20, то есть n = 20.
Всего в урне 6 шаров черного цвета,
значит число благоприятствующих исходов
событию А
равно 6, то есть
.
.
Ответ: 0,3.
3. Из букв слова "событие" наугад извлекаются и раскладываются в ряд 3 буквы. Какова вероятность, что получится слово "быт"? Решение. Пусть событие А:{получится слово «быт»}.
Так
как надо получить слово «быт», то число
исходов, благоприятствующих событию
А,
будет равно 1, то есть
.
Различные «слова» из трех букв отличаются
друг от друга порядком расположения
букв или вхождением какой-нибудь новой
буквы, тогда их число равно числу
размещений из 7 букв по 3, то есть
.
Тогда
.
Ответ: 1 / 210.
4. В магазине были проданы 21 из 25 холодильников 3-х марок, имеющихся в количестве 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки.
Решение.
Событие А:
{остались нераспроданными холодильники
одной марки}. Число всевозможных способов,
которыми можно получить 4 (непроданных)
холодильника из 25, равно числу сочетаний
из 25 по 4 (зависит только от состава), то
есть
.
Число способов, которыми можно получить
4 холодильника первой марки из 5, равно
;
второй марки из 7 –
и третьей марки из 13 –
.
Событию A
по правилу суммы благоприятствует
случаев. Поэтому
Ответ: 0,06.
5. В ящике перемешаны 10 синих и 8 зеленых шаров. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что они: а) оба синие; б) одного цвета; в) разных цветов?
Решение:
поскольку во всех трех случаях из 18
шаров выбирается 2, причем порядок
следования шаров не важен, то общим
числом исходов будут всевозможные
сочетания из 18 по 2, то есть
,
а)
пусть событие А:
{вытащили 2 синих шара}. Число благоприятных
исходов для события А
есть сочетания из 10 по 2, так как порядок
следования не важен, то есть
.
Тогда по формуле
,
получаем
;
б)
событие В:
{вытащили 2 шара одного цвета}. Мы можем
вытащить либо 2 синих шара, либо 2 зеленых
и одна выборка отличается от другой
только новым шаром, поэтому число
благоприятных исходов, по правилу
суммы, получим:
.
Тогда, по формуле
,
получаем
;
в) событие С: {вытащили 2 шара разного цвета}.
Событие
C
заключается в том, что вытаскивается 1
шар синего цвета и 1 зеленого. Синий шар
можно вытащить 10-ю способами, а зеленый –
8-ю. По правилу произведения,
.
Тогда, по формуле
,
получаем
.
Ответ: а) 0,3; б) 0,48; в) 0,52.
6.
В коробке 5 красных и 7 зеленых карандашей.
Из нее случайно выпали 3 карандаша. Найти
вероятность того, что два из них –
красные.
Решение.
Событие А:
{выпало 2 красных и 1 зеленый карандаш}.
Так как выпало 3 карандаша из 12, причем
порядок выпадения неважен, то всевозможное
число таких соединений есть сочетания
из 12 по 3, то есть
.
Для нахождения благоприятствующих
исходов заметим, что 2 красных карандаша
из 5 красных можно выбрать
способами, а 1 зеленый из 7 зеленых –
способами. И, по правилу произведения,
.
Итак,
.
Ответ: 0,32 .
7. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них на 1 билет выпадает выигрыш в 500 рублей, на 10 билетов –100, на 50 – 20, на 100 – 5. Остальные – без выигрыша. Некто покупает один билет. Найти вероятность выигрыша, составляющего не менее 20 рублей.
Решение.
Пусть событие А:
{выигрыш не
менее 20 рублей}. Воспользуемся формулой
.
В данном примере n
= 1000, так как
всего имеется 1000 билетов. Число билетов
с выигрышем больше, чем 20 равно 1+10 + 50 =
61, то есть m
= 61. Итак,
.
Ответ: 0,061.