Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 - 3 нужно построить множество элементарных исходов Ω и выразить через эти исходы указанные события.

1. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат выпадение либо цифры (ц), либо герба (г) на верхней стороне монеты. События:

   1. А: {герб выпал ровно один раз};

   2. В: {ни разу не выпала цифра};

   3. С: {выпало больше гербов, чем цифр};

   4. D: {герб выпал не менее двух раз подряд}.

2. Из четырёх отобранных тузов наугад вытаскиваются две карты. События:

   1. А: {обе карты красной масти};

   2. В: {обе карты разной масти}.

3. Произведено три выстрела из орудия по цели. Пусть – попадание в цель при k-ом выстреле. Представить события:

   1. A:{произошло ровно одно попадание};

   2. В: {не будет ни одного попадания};

   3. С: {будет хотя бы одно попадание}.

4. Доказать тождества:

   1. ;

   2. ;

   3. .

5. Три изделия проверяются на стандартность. Вводятся события: А: {все изделия стандартны}; В: {хотя бы одно изделие стандартно}. Выяснить смысл событий: А+В, АВ, , А\В.

6. Какие из следующих пар событий являются несовместными, а какие – совместными?

1) :{выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, : {на кухне};

2) : { попадание при одном выстреле}, : {промах};

3) : {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, : {два попадания}.

7. Образуют ли полную группу следующие события?

1. и из задачи 6;

2. и из задачи 6;

3. : {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех магазинов}, : {не купит ни в одном магазине}.

8. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Событие :{первый студент решил задачу}, :{второй студент решил задачу}, :{третий студент решил задачу}. Выразить через события (j = 1,2,3) следующие события:

1. А :{все студенты решили задачу};

2. В :{задачу решил только первый студент};

3. С :{задачу решил хотя бы один студент};

4. D :{задачу решил только один студент}.

9. Пусть – три события, наблюдаемые в данном эксперименте. Выразить следующие события:

   1. А: {произойдет ровно одно событие};

   2. В: {произойдёт два события из трех};

   3. С: {произойдет не менее двух событий};

   4. D: {произойдет хотя бы два события}.

10. Электрическая цепь составлена по схеме, приведённой на рис. 8. Событие : {элемент с номером k вышел из строя},

k = 1,2,3,4,5. Событие В: {разрыв цепи}. Выразить событие В и в алгебре событий .

( , )

Рис.8. Схема

2. Элементы комбинаторики

Комбинаторика (от позднелатинского combino – соединяю) – теория соединений.

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Пусть – некоторое конечное множество, то есть – элементы данного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении задач.

Правило суммы

Если элемент может быть выбран способами, элемент может быть выбран другими способами и. т. д., элемент – способами, то выбор одного из элементов или , или , …, или может быть осуществлён способами.

Другими словами, союз «или» мы заменяем в комбинаторике на знак «+».

Примеры.

1. В ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных.

Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение. Здесь предполагается, что цветной шар – это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать способами.

Ответ: 9.

2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 книги по геометрии и 5 книг по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?

Решение. Книга по математике – это книга по алгебре или по геометрии. Применяем правило суммы: 3 + 4 = 7.

Ответ: 7.

Правило произведения

Если элемент может быть выбран способами, после каждого такого выбора элемент может быть выбран способами и. т. д., элемент – способами, то выбор всех элементов , и , …, и может быть осуществлён способами.

Другими словами, союз «и» мы заменяем в комбинаторике на знак « ».

Примеры.

3. Сколько может быть различных соединений выпавших граней при бросании двух игральных костей? (Игральная кость – это кубик, на гранях которого нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение. На первой кости может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, то есть всего будет 6 вариантов. Точно так же и на второй кости 6 вариантов, то получится всего способов.

Ответ: 36.

4. В меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?

Решение. Полный обед состоит из первого, второго и третьего блюд. По правилу произведения, получаем различных полных обеда.

Ответ: 24.

Как уже было отмечено выше, комбинаторика – теория соединений. Рассмотрим основные виды соединений элементов некоторого n – элементного множества А.

Пусть дано множество M из n различных элементов.

• Перестановки – соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества M и которые отличаются друг от друга только порядком элементов. (Перестановка элементов – это установленный в конечном множестве порядок).

Количество таких перестановок обозначают символом и вычисляют по формуле

,

где п – число элементов множества M.

Например, рассмотрим множество, состоящее из двух букв . Эти буквы можно расположить одну за другой двумя способами: или .

Три буквы можно расположить в виде последовательности уже шестью способами:

ABC; ACB;

BAC; BCA;

CAB; CBA.

Примеры.

5. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

Решение. Каждая расстановка будет отличаться от другой порядком следования книг. Поэтому это будут перестановки из семи элементов.

Ответ: способами.

6. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числах не повторялись?

Решение. Из данных шести цифр можно составить перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет . Поэтому шестизначных чисел будет: .

Ответ: 600 чисел.

7. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома: а) стояли рядом; б) не стояли рядом?

Решение. а) подсчитаем сначала число вариантов расстановки, когда первый и второй тома стоят рядом. Их можно считать за одну книгу. Тогда получается перестановок. Но первый и второй тома можно соединить двумя способами: слева первый, справа второй том и наоборот. За счет этого количество вариантов удваивается и всего их будет ;

б) указанные тома не стоят рядом во всех остальных случаях, значит, из общего числа перестановок восьми книг надо вычесть число перестановок, когда тома стоят рядом. Итак, .

Ответ: а)10 080; б) 30 240.

Пусть из данного множества M, состоящего из n элементов, требуется выбрать подмножества из т различных элементов . Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по два элемента – ab, cd, eb, ba, ce и т.д., комбинации по три элемента: abс, cde, eba, bad и т.д.

• Если соединения из n элементов по т отличаются или составом элементов, или порядком их расположения (или и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по т. Число размещений обозначают и вычисляют по формуле:

Примеры.

8. В группе 25 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько способов такого выбора существует?

Решение.

1-й способ. Старостой может быть выбран любой из 25 студентов, его заместителем – любой из оставшихся 24, а профоргом – любой из оставшихся 23 студентов. По правилу произведения, общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно способам.

2-й способ. Необходимо выбрать трёх студентов из 25, причём каждая комбинация должна отличаться не только составом, но и порядком их следования, так как выбираются три различные должности: староста, его заместитель и профорг, что представляет собой размещения из 25 элементов по 3. Число вариантов выбора вычисляется по формуле:

Ответ: 13 800.

9. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить (цифры в числе не должны повторяться)?

Решение. Трехзначные числа представляют собой трехэлементные выборки из пяти цифр, причем выборки упорядоченные, поскольку порядок цифр в числе существенен. Значит, этих чисел будет столько, сколько существует размещений из пяти элементов по 3.

Ответ: 60 чисел.

• Если соединения из n элементов по т отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по т. Число сочетаний обозначают и вычисляют по формуле:

.

Примеры.

10. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов – Петров или Петров – Иванов – это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

Ответ: 190 способами.

11. Сколькими способами группу из 15 учащихся можно разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой – 11 человек?

Решение. Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно способами, так как важен только состав группы

Ответ: 1365 способами.

12. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем обязательно было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выберем сначала из 10 2 розы. Это можно осуществить способами. Используются сочетания, а не размещения, потому что порядок, в котором выбираются цветы, значения не имеет. Независимо от выбора роз, 3 георгина из 8 можно взять способами. Тогда, по правилу произведения, 2 розы и 3 георгина можно выбрать способами.

Ответ: 2520 способами.

13. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколько возможностей выбора этих пяти человек существует?

Решение. Выберем сначала председателя и секретаря. Вариантов выбора этих двух человек из 40 будет . Размещения здесь потому, что этот выбор зависит от порядка, например, "Иванов – председатель, Петров – секретарь" и "Петров – председатель, Иванов – секретарь" – это разные варианты. Затем из оставшихся 38 человек изберем 3 человека в редакционную комиссию. Это делается способами. Сочетания здесь потому, что этот выбор зависит только от состава редакционной комиссии. По правилу произведения, всего вариантов:

Можно было действовать иначе: сначала выбрать комиссию способами, а затем председателя и секретаря способами. Всего вариантов .

Ответ: 13 160 160.

14. Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

Решение. Заметим, что здесь будет два типа треугольников: расположенные вершинами вверх и вершинами вниз. Для треугольника первого типа вершину выбираем 10-ю способами, а основание (2 точки из 20) – способами. Всего, по правилу произведения, получается треугольников. Аналогично, треугольников второго типа будет . Наконец, применив правило суммы, получим общее количество треугольников:

Ответ: 2800 треугольников.

15. В вагоне электрички имеются два противоположных дивана, по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое – против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение. Желающих сидеть по ходу движения разместим способами. Размещения здесь потому, что одна посадка пассажиров будет отличаться от другой вхождением новых пассажиров или порядком их посадки. Аналогично рассуждая для желающих сидеть против хода движения, получаем . Остальных троих определяем на три пустых места – Здесь перестановки, так как важен только порядок их посадки. По правилу произведения, всех пассажиров можно разместить    способами.

Ответ: 43 200 способами.

16. Правление банка состоит из 12 человек. Минимальный кворум должен насчитывать 8 человек: а) сколькими способами может достигаться минимальный кворум? б) сколькими способами может достигаться любой кворум?

Решение: а) в данном случае речь идет о сочетаниях, так как выбранные кворумы отличаются только элементами. Получим:

;

б) любой кворум может содержать в себе 8 или 9, или 10, или 11, или 12 человек. Мы опять имеем дело с сочетаниями, так как кворумы отличаются только составом их членов. По правилу сложения имеем

.

Ответ: а) 495; б) 794.

• Если в размещениях (сочетаниях) из п элементов по т некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями.

Например, из пяти элементов a, b, c, d, e по три, размещениями с повторениями будут abc, cab, bcd, cdb, bbc, cbb, ccc и т.д., сочетаниями с повторениями будут abc, bcd, bbc, ccc и т.д.

• Число размещений с повторениями обозначают и вычисляют по формуле

.

• Число сочетаний с повторениями обозначают и вычисляют по формуле

.

Примеры.

17. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько вариантов распределения призов существует, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

Решение: а) каждый из вариантов распределения призов представляет собой соединение 5 фильмов из 10, отличающееся от других соединений как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или и тем и другим), причём одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз. (Любой фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям.) То есть данные соединения представляют собой размещения с повторениями из 10 элементов по 5. Их число равно

б) если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в соединение 5 призёров значения не имеет, и число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, их число равно

.

Ответ: а) 100 000; б) 2002.

• Если в перестановках из общего числа п элементов есть к различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется раз, 2-ой – раз, к-й – раз, причём , то такие перестановки называются перестановками с повторениями из п элементов. Число таких перестановок обозначают и вычисляют по формуле

.

Приведем в систему полученные формулы всех 6-ти видов комбинаций с повторениями и без повторений, представив алгоритм определения вида комбинации следующей схемой.

Примеры.

18. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р₈ (2,2,2). По формуле:

.

Ответ: 5040 способами.

19. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?

Решение. Каждое такое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, то есть является перестановкой с повторениями из семи элементов. Их число определяется по формуле

.

Ответ: 210 чисел.