1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – это наука, изучающая математические модели случайных процессов.

Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события.

Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение), предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F. Сам эксперимент обозначают буквой E . Наблюдаемые события делятся на три вида: достоверные, случайные, невозможные.

• Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт в результате проведения эксперимента, его будем обозначать буквой I .

• Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента E, обозначается такое событие символом пустого множества .

• Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента E. Случайные события обозначаются первыми большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …

Пример 1. Эксперимент E – бросание игральной кости. Пусть X –число выпавших очков, тогда – невозможное событие, –достоверное событие, – число чётное – случайное событие.

• Элементарным событием называется непосредственный исход эксперимента E.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается .

Пример 2. Эксперимент E – бросание игральной кости, в результате которого возможно шесть элементарных событий Событие означает, что в результате бросания выпало очков, .

События можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна. Достоверное событие изображается квадратом; случайное событие А – областью внутри квадрата; противоположное событие изображается областью внутри квадрата вне области, изображающей событие (рис. 1).

Рис 1. Диаграммы Венна

Для того чтобы диаграммы Венна не представлялись слишком абстрактными, можно представить себе эксперимент E как стрельбу по мишени, являющейся квадратом, с условием, что выпущенный снаряд обязательно попадет в мишень. Тогда событие означает попадание в заданную область.

Действия над событиями

• События А и В называются равными, А=В, если и .

• Суммой или объединением событий А и В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий.

Сумма событий обозначается следующим образом: A+B, .

Пример 3. Эксперимент E – бросание игральной кости.

Событие А: {выпадение 1 или 2}, событие В: {выпадение 2 или 3}, тогда событие А+В: {выпадение 1 или 2 или 3}. На диаграмме Венна событие А+В изображается областью, которая накрывается областями, изображающими события А и В (рис. 2).

Рис. 2. Изображение суммы событий А+В

• Произведением или совмещением (пересечением) событий А и В называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно).

Произведение событий обозначается следующим образом: АВ, АВС, . На диаграмме Венна произведение событий АВ изображается общей частью областей, изображающих события А и В (рис3).

Рис. 3. Изображение произведения

• Разностью событий А и В называется событие, состоящее в том, что событие А произойдёт, а событие В – нет.

Разность событий обозначается: А\В, на диаграмме Венна разность изображается частью множества А, не принадлежащей множеству В (рис. 4).

Рис. 4. Разность событий А\В

• Событие В называется частным случаем события А, если с появлением события В появляется и событие А. Говорят также, что событие В влечет за собой событие А и записывается в виде:

.

На диаграмме Венна событие В, влекущее за собой событие А, изображается подобластью области, изображающей А (рис. 5). Если квадрат – мишень, то попадание в область, изображающую событие В, означает попадание в область, изображающую А.

Рис. 5. Изображение

Заметим, что элементарное событие ω эксперимента Е обладает характеристическим свойством, которое может служить определением элементарного события: каким бы ни было событие А, порождённое экспериментом Е, всегда либо , либо .

• Противоположным или дополнительным событию A называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

Пример 4. Эксперимент E – выстрел из орудия. Событие – попадание в цель, тогда – промах.

Свойства событий:

1. А+А=А (но не 2А); А+I = I; A+ =A; AA=A (но не ); AI = A; A+B = B+A; ;

A = ; (A+B)+C=A+(B+C); AB = BA; (AB)C=A(BC); A(B+C)=AB+AC; (A\B)(B\A)= ; .

Эти правила во многом похожи на правила действия с числами. Роль достоверного события I – похожа на единицу, а невозможного события – напоминает ноль. Приведенные правила и другие (более сложные) составляют алгебру событий.

• События называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие:

А₁ А₂ А₃ ...А_n = .

• События называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Несовместными будут все элементарные события, события и , т.е. обладающие свойством 14.

На диаграмме Венна два несовместных события изображаются непересекающимися множествами.

• Полной группой событий называется множество попарно несовместных событий, сумма которых есть достоверное событие:

А₁ + А₂ + А₃ +...+А_n =I.

Примерами полной группы событий являются все элементарные события ω пространства . На диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат. События А и так же образуют полную группу, т.е.:

Пример 5. Нужно доказать формулу:

(1)

Эта формула представляет сумму двух любых событий как сумму несовместных событий.

Доказательство: применим свойства (1-2,4,6):

А+В=А+BI=A+B(A+ )=(AI+AB)+ B=A(I+B)+ B=

=AI+ B=A+ B.

На диаграмме Венна формула (1) означает, что множество, изображающее А+В, представлено как объединение непересекающихся множеств, изображающих и (рис. 6).

Рис. 6.

Пример 6. Одновременно подбрасываются два кубика игральных костей. Контролируется число очков на верхних гранях. Описать множество элементарных исходов Ω и описать события: А: {в сумме выпадет 5 очков}, В: {суммарное число очков кратно 4}, С: {на кубиках выпало одинаковое число очков}.

Решение. Рассмотрим события: ={на верхней грани первого кубика выпало k очков, второго – j очков} ( ), эти события являются элементарными исходами, поэтому

.

Событию А благоприятствуют исходы: , поэтому

А = { }.

Так как событие В происходит тогда, когда на верхних гранях в сумме выпадут числа 4, 8, 12, то

В = { },

очевидно, что С = { }.

Пример 7. Электрическая цепь составлена по схеме, приведённой на рис. 7. Событие : {элемент с номером k вышел из строя}, k = 1,2,3,4. Событие В: {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий .

Рис.7. Схема

Решение. Разобьём схему на три части: первая состоит из блока 1, вторая из блоков 2 и 3, и третья состоит из блока 4. Учитывая свойства последовательного соединения, делаем вывод, что схема не будет работать, если не будет работать, хотя бы одна из частей схемы. Параллельное соединение блоков 2 и 3 не работает тогда и только тогда, когда не работают оба блока, т.е. . Значит .

Пример 8. В коробке находятся детали I и II сорта. Извлекаются по очереди 3 детали. Событие : {i-ая по порядку деталь I сорта}, где (i = 1,2,3). События А: {все три детали I сорта}, В: {хотя бы одна деталь I сорта}, С: {две детали I сорта}, D: {не менее двух деталей I сорта}, G: {первые две детали II сорта}. Какие из названных событий являются совместными?

Решение. Если события совместны, то их произведение не является невозможным событием. Рассмотрим произведение события А на любое из остальных событий. , так как в событие «хотя бы одна деталь I сорта» входят «одна деталь I сорта, и 2, и 3 детали I сорта», то есть .

– невозможное событие, так как если А: {все три детали I сорта}, то этим исключается С: {две детали I сорта}, А и С несовместны.

и совместны, так как событие D: {не менее двух деталей I сорта} включает и событие А: {все три детали I сорта}.

и несовместны, так как G: {первые две детали II сорта}, то вместе с не может произойти А.

Аналогично имеем и – невозможное событие, то есть В совместно с С и D. Далее, , – невозможное событие. Следовательно, пары и и и – несовместны, а события и – совместны.