7.3. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа

Если число испытаний достаточно велико, а произведение , то вероятность находится по локальной формуле Муавра – Лапласа:

,

где , а значения функции приведены в прил. П. 1.

Функция обладает следующими свойствами:

а) является четной, то есть ;

б) монотонно убывает при положительных значениях аргумента;

в) ;

г) для всех значений значение функции = 0.

Вероятность того, что частота наступления события попадет в промежуток при тех же условиях ( , достаточно велико) находится приближенно по интегральной формуле Муавра – Лапласа

,

где – функция Лапласа, (таблица функции приведена в прил. П. 2 данного пособия).

Функция обладает следующими свойствами:

а) является нечетной, то есть ;

б) - монотонно возрастающая;

в) ;

г) для всех значений значение функции 0,5.

Рассмотрим следствие интегральной формулы Муавра – Лапласа.

Следствие. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что:

а) число наступлений события отличается от произведения не более чем на величину (по абсолютной величине), равна

; (2)

б) частота появлений события в испытаниях отличается от постоянной вероятности р не более, чем на число (по абсолютной величине), равна

. (3)

Данное следствие позволяет решать задачи, в которых по двум из трех величин можно определить третью.

Примеры.

1. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение. По условию, . Так как , то воспользуемся формулой: , где . Имеем По таблице значений функции находим, что Подставляя это значение в формулу, получим: .

Ответ: 0,015.

2. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение. По условию имеем

Так как , воспользуемся формулой:

,

где .

Находим х₁ и : , .

По таблице значений функции , имеем:

.

Подставив эти значения в формулу, получим:

.

Ответ: 0,8882.

3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) меньше чем 270 и больше, чем 230 раз; б) больше, чем 270 раз.

Решение: а) необходимо найти

. Воспользуемся формулой , где . По условию, имеем:

Находим х₁ и : , .

По таблице значений функции , имеем:

.

Подставив эти значения в формулу, получим:

;

б) здесь необходимо найти:

.

Воспользуемся той же формулой, что и в пункте а). По условию, имеем: Находим х₁ и : , .

По таблице значений функции , имеем:

.

Подставив эти значения в формулу, получим:

.

Ответ: а) 0,8378; б) 0,0197.

4. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Имеем: . Тогда По таблице значений функции находим, что Подставляя это значение в локальную формулу Муавра – Лапласа, получим:

.

Ответ: 0,0022.

5. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) наивероятнейшее число предприятий и вероятность этого числа; б) не менее 480.

Решение: а) по условию, . По формуле , имеем:

;

то есть . Итак, наивероятнейшее число предприятий равно 500. Теперь найдем вероятность этого числа по локальной формуле Муавра – Лапласа: Тогда

;

б) необходимо найти . Применим интегральную формулу Муавра – Лапласа.

По условию, Находим х₁ и : ,

.

По таблице значений функции , находим:

.

Подставив эти значения в формулу, получим:

.

Ответ: а) 0,0252; б) 0,897.

6. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной р = 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной n₀ клиентам при наступлении страхового случая, то есть тыс. руб.

Для определения воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа: , где m – число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма; , , откуда

.

Из формулы Муавра – Лапласа имеем:

.

По таблице значений функции , находим при . Теперь имеем: и . То есть с надежностью 0,95 ожидаемая прибыль составит 1,92 млн. руб.

Ответ: 1,92 млн. руб.

7. Вероятность приема сообщения без ошибок равна 0,5. Найти вероятность того, что из 100 принятых независимо друг от друга сообщений число принятых без ошибок будет отличаться от 50 по абсолютной величине не более, чем на 5.

Решение. В условиях задачи А: {сообщение принято без ошибок}. . Необходимо найти . Применяем формулу (2):

, при , получим:

.

Ответ: 0,6826.

8. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. . Требуется найти вероятность . Пользуясь формулой (3)

,

имеем: .

По таблице значений функции , находим, что . Следовательно, . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

9. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Найти количество деталей, которые надо отобрать, чтобы с вероятностью равной 0,9544 можно было утверждать: относительная частота появления нестандартной детали отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию, ;

.

Требуется найти n. Воспользуемся формулой из предыдущей задачи. В силу условия, . Значит, . По таблице значений функции , имеем: . Для отыскания числа n получаем уравнение: значит, . Если взять достаточно большое число проб по 400 деталей, то в 95,44 % этих проб будет отличаться от постоянной вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,03, то есть относительная частота заключена в границах от до . Другими словами, число нестандартных деталей в 95,44 % проб будет заключено между 28 (7 % от 400) и 52 (13 % от 400).

10. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 39-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 2000 покупателей таких будет от 570 до 630 включительно.

Решение. По условию, число испытаний , . Значит, границы числа покупателей одинаково отличаются от произведения . Поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу (2): . Получаем:

.

Ответ: 0,8558.

11. Из условия предыдущего примера найти вероятность того, что отклонение доли нуждающихся в обуви 39-го размера от вероятности 0,3 не превзойдет 0,02.

Решение. По условию . Искомая вероятность равна

Ответ: 0,9488.

12. Вероятность того, что каждому из 800 покупателей необходима одежда 42-го размера, равна 0,3. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9625 заключена доля покупателей, нуждающихся в одежде 42-го размера.

Решение. Подставляя значения и в формулу , получим . По таблице значений функции , находим, что при . Значит, , откуда . Итак, с вероятностью 0,9625 можно ожидать, что из 800 покупателей доля нуждающихся в одежде 42-го размера отклонится от вероятности 0,3 не более, чем на 0,034, то есть будет заключена в границах от 0,266 до 0,334.