7.2. Формула Пуассона
При рассмотрении примеров для больших n и m вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляют значительные затруднения, становятся громоздкими. В этом случае применяются приближенные формулы, позволяющие с достаточной степенью точности найти эти вероятности.
Если
число испытаний достаточно велико, а p
мало и при этом произведение
не больше 10, то вероятность
можно приближенно найти по формуле
Пуассона:
,
где
.
Примеры.
1. С базы в магазин отправлено 4000 баночек с горошком. Вероятность разбить банку в пути равна 0,0005. Найти вероятность того, что в магазин прибудет от 3 до 5 разбитых банок.
Решение.
Воспользуемся формулой Пуассона и,
учитывая, что
,
находим:
.
Ответ: 0,3068.
2. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно две опечатки; в) не менее двух опечаток.
Решение:
по условию задачи
,
то будем применять формулу Пуассона,
а)
.
Так
как
,
то
,
и
;
б)
;
в)
,
где
.
Ответ: а) 0,635; б) 0,1839; в) 1/е.
3. В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течении месяца равна 0,0002. Найти вероятности того, что за месяц откажут два, три и пять замков.
Решение.
Используем формулу Пуассона:
,
где
.
В нашем случае
.
Тогда
;
;
.
Ответ: 0,27; 0,18; 0,036.
4. На факультете обучается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение.
Вероятность того, что день рождения
студента 1 сентября, равна
.
Так как
– мала, n
=
1825 – велико и
,
то применяем формулу Пуассона:
.
Ответ: 0,1755.
5. Телефонный коммутатор обслуживает 2000 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0,0025. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на коммутатор: а) три абонента; б) не менее четырех абонентов.
Решение:
дано: а)
.
Воспользуемся формулой Пуассона:
,
где
.
Итак:
;
б)
пусть событие А:
{в течение часа позвонят на коммутатор
не менее четырех абонентов}. Рассмотрим
противоположное событие
:
{в течение часа позвонят на коммутатор
менее четырех абонентов}. Тогда вероятность
искомого события можно определить по
формуле:
.
Для
события
имеем:
.
Найдем вероятность:
Тогда
искомую вероятность найдем по формуле:
.
Вероятности, входящие в эту формулу,
найдем по формуле Пуассона:
,
,
,
.
Тогда искомая вероятность равна:
.
Ответ: а) 0,1404; б) 0,735.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000. (0,95957).
2. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов? (0,15629).
3. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 мин, равно 3-м. Найдите вероятность того, что за 2 мин прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2-х; в) 4 самолета. (а) 0,938; б) 0,062; в) 0,134).
4. В партии из 2000 гаек имеются 30 с браком в нарезке. Для контроля взяты наудачу 100 гаек. Найти вероятность того, что среди них: а) нет бракованных; б) число бракованных гаек меньше двух. (а) 0,223; б) 0,558).
5. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов. (а) 0,054; б) 0,522).
6. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено: а) ровно 4 пары; б) ровно 5 пар.(а) 0,09; б) 0,036).
11. Владельцы кредитных карточек ценят их и теряют их крайне редко. Пусть вероятность потерять в течение недели кредитную карточку равна 0,001. Всего банк выдал карточки 2000 клиентам. Найти вероятность того, что в течение недели будут потеряны: а) хотя бы одна; б) ровно одна кредитная карточка. (а) 0,86466; б) 0,27067).