7. Повторные независимые испытания. Асимптотические формулы

7.1. Формула Бернулли

Схемой Бернулли называются повторные независимые испытания с двумя исходами и в каждом испытании и с вероятностями этих исходов, не меняющимися от испытания к испытанию.

Вероятность наступления события A в каждом испытании обозначается через p: , тогда . Пусть m – число наступлений события A в n испытаниях; – вероятность того, что частота появлений события A равна m. Эта вероятность определяется по формуле Бернулли:

,

где .

Иногда необходимо найти наивероятнейшее число m₀ , то есть число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях. Наивероятнейшее число m₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний является целым числом и находится в интервале, который можно найти по формуле:

.

Вероятность того, что событие А наступит не менее раз и не более раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, можно найти по формуле:

.

Вероятность того, что событие А наступит хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, можно найти по формуле:

.

Примеры.

1. Производится 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна . Найти вероятность того, что событие А появится: а) 2 раза; б) не менее одного раза.

Решение: а) имеем , а значит

б) воспользуемся свойством: сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице. На основании этого свойства вероятность появления события А не менее одного раза равна , где – вероятность появления события А во всех шести опытах; эта вероятность определяется по формуле Бернулли: ,

.

Ответ: а) 0,33; б) 0,09.

2. Всхожесть семян составляет 95 %. Отбирается 6 зерен. Какова вероятность того, что дадут всходы: а) 5 зерен из шести; б) не менее 5 зерен; в) хотя бы одно зерно.

Решение. Производится 6 независимых испытаний (посадка зерен). Каждое испытание имеет два исхода: зерно взойдет, зерно не взойдет. Вероятность всхожести зерна одинакова и равна 0,95, т.е. . Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли,

а) событие A: {дадут всходы 5 зерен из 6}. Здесь . Получаем по формуле Бернулли:

б) событие В: {дадут всходы не менее 5 зерен}.

На основании теоремы сложения вероятностей (фраза «не менее 5 всходов», символически , означает 5 или 6 всходов, то есть сумму несовместных событий), имеем:

в) обозначим событие С: {хотя бы один всход из шести зерен}, то есть один и больше, символически . Применяя в этом случае формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей, мы получим громоздкие вычисления. Воспользуемся формулой

. Это значит, что при высокой всхожести семян практически достоверно иметь число не меньше одного.

Ответ: а) 0,23; б) 0,96; в) 1.

4. Вероятность изготовления на автоматическом станке детали без брака равна 0,8. Найти вероятность возможного числа появления бракованных деталей среди 5-ти отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли

5. По данным предыдущего примера найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа.

Решение. Здесь Имеем:

или . Следовательно, , а его вероятность = 0,4096.

Ответ: 1; 0,4096.

6. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Решение. В данном случае вероятность выпадения тройки равна , т.е. . Согласно неравенству, или , откуда , то есть необходимо подбросить кость от 59 до 64 раз включительно.

Ответ: от 59 до 64 раз.

7. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

Решение.

а) ;

б)

;

в) . Эту вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, то есть ;

г) наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определится из условия: , то есть или , то есть наивероятнейших чисел 1. Поэтому вероятность

.

Ответ: а) 0,436; б) 0,738; в) 0,564; г) 0,301.