МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е.А. Бурлакова, С.В. Колпакова, Н.Н. Митюшкина, Т.А. Никольская
Математика. Теория вероятностей.
Часть 1.
Случайные события
Орел 2010
УДК 519.2 (075)
ББК 22.171Я 7
Рецензенты:
Заведующий кафедрой «Высшая математика» Орловского государственного технического университета,
доктор технических наук, профессор
В.А. Гордон
Заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета, кандидат педагогических наук, профессор
В.В. Ветров
М34 Бурлакова, Е.А. Математика. Теория вероятностей. Часть 1. Случайные события: учебное пособие для вузов / Е.А. Бурлакова, С.В. Колпакова, Н.Н. Митюшкина, Т.А. Никольская. — Орел: Орел ГТУ, 2010. – 80 с.
Учебное пособие содержит основные положения раздела учебной программы «Теория вероятностей» дисциплины «Высшая математика», относящиеся к случайным событиям.
К каждой теме даны необходимые теоретические сведения и формулы, детально разобраны типовые задачи разных уровней. В конце каждого параграфа приведены задания для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей и может быть использовано преподавателями при проведении практических занятий.
УДК 519.2 (075)
ББК 22.171Я7
© Орел ГТУ, 2010
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5
2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 12
3. КЛАССИЧЕСКОЕОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 23
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 29
5. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ 32
5.1. Теорема умножения вероятностей 32
5.1.1. Условная вероятность 32
5.1.2. Вероятность произведения независимых событий 33
5.1.3. Вероятность произведения зависимых событий 34
5.2. Теорема сложения вероятностей 35
5.2.1. Вероятность суммы несовместных событий 35
5.2.2. Вероятность суммы совместных событий 38
5.3. Вероятность появления хотя бы одного события 39
6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА 44
7. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 53
7.1. Формула Бернулли 53
7.2. Формула Пуассона 58
7.3. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа 62
Литература 73
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Таблица значений функции
….78
ПРИЛОЖЕНИЕ
2. Таблица
значений функции
....79
ПРИЛОЖЕНИЕ
3. Таблица
значений функции
……….80
Введение
Среди математических дисциплин, изучаемых студентами, теория вероятностей занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе, при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.
Своеобразная форма вероятностных утверждений, сопровождаемых обычно словами « вероятно», « практически достоверно» и т.п. – первая проблема, с которой сталкиваются студенты при изучении дисциплины. Другая проблема связана с усвоением специфических теоретико-вероятностных понятий и положений, необходимостью проведения абстрактно-логических рассуждений при изучении данной дисциплины. Одним из путей преодоления возникающих трудностей является решение большого количества задач, которые в достаточной мере представлены в данном учебном пособии. Разобранные примеры рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала, а задачи с ответами для самостоятельного решения после формулировки, в конце каждого параграфа. Необходимые для решения задач математико-статистические таблицы даются в приложении.