Семинары по ТерВер / Семинар 4

Семинар 4. ТВиМС1. 6.03.04

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий

Условная вероятность P{B|A} события B при условии, что событие A произошло определяется формулой

Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

(4.1)

Обобщением ее является формула (теорема умножения вероятностей)

. (4.2)

События А и В называются независимыми, если

. (4.3)

При P{A}>0 можно дать эквивалентное определение независимости событий. События А и В называются независимыми, если

. (4.3)

События A₁,…, A_n называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности, или просто независимыми), если для всех комбинаций индексов 1i₁<…< i_kn, k=имеем

.

При k=2 события A₁,…, A_n называются попарно независимыми.

Задачи.

Применять формулы (4.1)– (4.3).

1. В урне 3 белых и 2 черных шара. Последовательно без возвращения вынимаются 3 шара. Определить вероятность появления комбинации шаров: белый, белый, черный.

Указание. Обозначим A₁, A₂, A₃ события, состоящие в появление белого при первом, втором и третьем извлечениях шаров. Найти по теореме умножения вероятностей. Ответ: 1/5.

2. Из урны, содержащей m черных и n белых шара, два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения). Выигрывает игрок, первым вытащивший белый шар. Найти вероятность выигрыша игрока, начавшего игру. a) m=3, n=2; б) m=3, n=1; в) m=4, n=2.

Указание. Воспользоваться следующим представлением A={выиграл игрок, начавший игру}, B_i={i-й шар, извлеченный из урны–белый}. Тогда a). Ответ: 3/5, 3/5, 4/7.

3. Из 1-й урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара, переложили случайно один шар во 2-ю урну, в которой сначала было 2 черных и 1 белый шар. После этого из 2-й урны случайно выбранный шар вернули в 1-ю урну. Найти вероятность того, что состав шаров в 1-й урне после этих перекладываний не изменился.

Указание. Определить события. B₁={из 1-й урны переложен белый шар}, B₁={из 2-й урны вернули белый шар}, A={состав шаров 1-й урны не изменился}. Тогда .

Ответ: 5/8.

4. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента берут по очереди по одному билету. Найти вероятность того, что:

1. первый студент взял «хороший» билет, б) второй студент взял «хороший» билет,

с) оба студента взяли «хороший» билет. Ответ: 1/5, 1/5, 1/30.

5. Брошено 2 игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять. Ответ: 1/7.

6. Из 100 карточек с числами 00, 01,…,98, 99 случайно выбирается одна. Пусть случайно выбирается одна. Пусть ₁ и ₂–соответственно сумма и произведение цифр на выбранной карточке. Найти P{₁=i |₂=0}. Ответ: 1/19 при i=0, 2/19 при i>0.

7. Доказать, что при P{A}=a и P{B}=b будет .

8. События A₁,…, A_n независимы; P{A_k}=p_k. Найти вероятность

1. непоявления всех событий,

2. появления хотя бы одного из этих событий,

3. появление точно одного (безразлично какого) события,

4. появление не менее двух событий.

Ответ d) .

9. Брошено 2 игральные кости. Положим

A_l={число очков, выпавшее на 1-й кости, делится на l},

B_l={число очков, выпавшее на 2-й кости, делится на l},

C_l={сумма очков, выпавших на 1-й и 2-й костях, делится на l}.

Отправляясь от классического определения вероятности, установить, являются ли независимыми следующие пары событий: a) A_l, B_k– при любых l, k; б) A₂, С₂, в) A₄, С₄.

Ответ: a), б) независимы, в) зависимы.

10. Игральная кость брошена 2 раза. Пусть ₁ и ₂–соответственно число очков выпавших при первом и втором испытаниях. Рассмотрим события

A₁={₁0(mod 2), ₂0(mod 3)}, A₂={₂0(mod 2), ₁0(mod 3)},

A₃={₁0(mod ₂)}, A₄={₂0(mod ₁)}, A₅={₁+₂0(mod 2)}, A₆={₁+₂0(mod 3)}.

Найти все пары {A_i, A_j}, тройки {A_i, A_j, A_k} и.т.д. взаимно независимых событий.

Ответ: Независимые пары A_i, A_j с i, j{1, 2, 5, 6}, и события {A₁, A₅, A₆},{A₂, A₅, A₆}.

11. Случайная точка (₁, ₂) имеет равномерное распределение в квадрате {(x, y): 0x, y1}. При каких значениях r независимы события

A_r={|₁–₂|r}и B_r={₁+ ₂3r}?

Ответ: при r0, r=1/3 и r2/3.

12. На плоскость бросается тетраэдр, три грани которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвет, а на четвертую нанесены все три цвета. Положим

K={при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет},

С={при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая синий цвет},

З={при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая зеленый цвет}.

Являются ли события K, С, З взаимно независимыми, попарно независимыми?

Ответ: события K, С, З взаимно зависимы, но попарно независимы.

13. Из совокупности всех подмножеств множества S={} по схеме выбора с возвращением выбираются множества A₁, A₂. Найти условную вероятность

.

Указание. Показать, что P{}=(3/4)ⁿ. Для этого поставить в соответствие множеству S={1,2,…,n} n-мерный вектор j-я координата которого равна 0, если jA₁, 1 при jA₂, 2 иначе. Аналогичным способом, найти число всех подмножеств множества мощности n. Ответ: .

14. В урне n белых, m черных и l–красных шаров, которые извлекаются случайно по одному: a) без возвращения; б) с возвращением. Определить в обоих случаях вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного. Указание. p– вероятность, что белый шар извлечен раньше черного, q– вероятность, что черный шар раньше белого. Для б) воспользоваться геометрической прогрессией а) заметить, что p/q=n/m и p+q=1. Ответ: p=n/(n+m) для а и б.

15. В урне n–черных, m–белых шаров, m n. Производится подряд без возвращений n извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекаются пары шаров разного цвета. Ответ: .

16. В урне имеется два шара–белый и черный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится черный, причем при излечении белого шара в урну возвращается этот шар и добавляются еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен. Ответ: .

17. В очереди за билетами стоимостью в 5 руб. стоят n+m человек, из которых n имеют деньги пятирублевого достоинства, a m (mn+1) – десятирублевого. Каждый покупает только один билет. В кассе до продажи билетов денег нет. Какова вероятность, что никому из очереди не придется ждать сдачи?

Указание. Пусть a₁,…, a_n–покупатели с деньгами пятирублевого достоинства, b₁,…, b_m–десятирублевого, причем из номера соответствуют порядку в очереди. Событие A_k–состоит в том, что придется ждать сдачу только покупателю b_k (k=). Найти P{}.Ответ: .

18. В очереди за билетами стоимостью в 1 руб. стоят n+m человек, из которых n имеют деньги рублевого достоинства, a m (2mn+1) – трехрублевого. Каждый покупает только один билет. В кассе до продажи билетов денег нет. Какова вероятность, что никому из очереди не придется ждать сдачи?

Указание. Аналогична 17. P{A_k}= –обосновать. Ответ: .

19. Баллотируются два кандидата, причем за первого в урну опущено n бюллетеней, а за второго m бюллетеней (n>m). Какова вероятность того, что в ходе подсчета бюллетеней число подсчитанных голосов, поданных за первого, все время будет больше числа голосов, поданных за второго? Указание. Аналогична 17. Ответ: .

.