Семинары по ТерВер / Семинар 10

Семинар 10. ТВиМС1. 24.04.04

Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.

Если на одном и том же вероятностном пространстве (,,P) определены случайные величины ₁,…,_r, то иногда говорят, что задан случайный вектор =(₁,…, _r). Многомерной функцией распределения (или совместной функцией распределения) ₁,…,_r называется вероятность P{₁x₁,…,_r x_r}, рассматриваемая как функция от точки (x₁,…,x_r) r-мерного евклидова пространства R^r и обозначаемая (кратко F_(x)) или F(x₁,…,x_r) (кратко F(x)). С помощью функции распределения однозначно определяются вероятности P{B} для r-мерных борелевских множеств B. Функция множеств P_{B}=P{B} называется r-мерным распределением вероятностей .

Абсолютно непрерывное r-мерное распределение вероятностей задается r-мерной плотностью , т.е. такой неотрицательной функцией _(x), что для любого борелевского множества BR^r

.

Дискретное r-мерное распределение задается с помощью конечного или счетного набора вероятностей P{=x(k)}, x(k)R^r, так как для любого борелевского множества

.

Случайные величины ₁,…,_r называются независимыми

a) в общем случае, если для любых x₁,…,x_rR

;

б) для абсолютно непрерывных распределений, если для любых x=(x₁,…,x_r)R^r (кроме, может быть, точек, образующих меру нуль)

;

в) для дискретных распределений, если для любых x=(x₁,…,x_r)R^r

.

Если случайные величины ₁,…,_r независимы, то функции от них _k=g_k(_k), k=, также будут независимыми случайными величинами.

Пусть =g(₁,…,_r) – функция отображающая R^r в R. Тогда

.

При r=2 справедливы следующие формулы.

Пусть дискретная случайная величина (₁, ₂) задана законом распределения

, ,.

Тогда

, , .

Если =g(₁, ₂), то

.

В частности, если g(x₁, x₂)=x₁+x₂, то

,

для независимых случайных величин

.

,

,

.

Для непрерывных случайных величин (₁, ₂), заданных плотностью , имеем:

, ,

, .

Если =g(₁, ₂), то

,

Плотность случайной величины =₁+ ₂ равна

,

для независимых случайных величин

.

,

,

.

Задачи

1. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	1
–2	1/8	1/4	1/8
2	1/12	1/3	1/12

Найти закон распределения случайной величины а) ₁; б) P{₂0}; в) =₁+₂; г) =min(₁, ₂); д) =max(₁, ₂); e) =₂²; ж) =₁²+₂.

Указание: а) –в) по формулам; г) с.в.  с положительной вероятностью может принимать следующие значения –2, –1, 0, 1. При этом P{=–2}=P{min(₁, ₂)= –2}= P{₁=–2}=1/2, P{= –1} = P{min(₁, ₂)= –1}= P{₂=–1, ₁–1}= P{₂=–1, ₁=2}=1/12.

Ответ: а) P{₁=–2}= P{₁=2}=1/2; б) 19/24; в)

k	–3	–2	–1	1	2	3
P{=k}	1/8	1/4	1/8	1/12	1/3	1/12

г) P{=–2}=1/2, P{=–1}= P{=1}=1/12, P{=0}=1/3;

д)

k	–1	0	1	2
P{=k}	1/8	1/4	1/8	1/2

е) P{=0}=7/12, P{=1}=5/12; ж) P{=3}=5/24, P{=4}=7/12, P{=5}=5/24.

2. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	1
–2	1/6	1/3	0
2	1/6	1/6	1/6

Найти закон распределения случайной величины а) ₁=max(₁, ₂); б) ₂=max(1, ₁+₂).

Ответ: а) P{₁=–1}=1/6, P{₁=0}=1/3, P{₁=1}=1/2; б) P{₂=1}=2/3, P{₂=0}=1/6, P{₂=1}=1/6;

3. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается равенствами

, k=0, 1, 2,…; j=0, 1, 2,…,

где 0<p<1, >0. Найти закон распределения ₁, ₂.

Указание: воспользоваться формулой для геометрической прогрессии и .

Ответ: , .

4. Величины ₁, ₂ независимы; P{₁=0}= P{₁=1}=1/2, ₂ равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения величины =₁+₂. Указание: {₁+₂x}={₂x, ₁=0}+{₁x, ₂=0}.

Ответ: _(x)=1/2, x [0,2].

5. Одновременно подбрасывают две игральные кости. Пусть _i– число очков, выпавших на i-ой игральной кости, =₁+₂. Найти а) P{>9}; б) совместный закон распределения вектора (₁, ); в) P{₁2, >9}. Указание: в) Показать P{>9}= P{₁2, >9}+ P{₁<2, >9}= P{₁2, >9}.

Ответ: а) 1/6; б) P{₁=j, =i}=1/36, если 1i–j6, , ; в) 1/6.

6. Законы распределения независимых случайных величин ,  заданы таблицами

					k				1	2		3
					P{= k}				0,5	0,2		0,3

k	0	1	2
P{= k}	0,2	0,3	0,5

Найти закон распределения случайных величин а) ₁=max(, ); б) ₂=min(, ); в) ₃=+.

Указание: а) Воспользоваться равенствами P{k}=P{k}P{k}, P{=k}=P{k}–P{k–1}.

б) Воспользоваться равенствами P{k}=P{k}P{k}, P{=k}=P{k}–P{k+1}.

Ответ:

				k				1		2		3
				P{1= k}				0,25		0,45		0,3

k	0	1	2
P{2= k}	0,2	0,55	0,25

k	1	2	3	4	5
P{3= k}	0,1	0,19	0,37	0,19	0,15

7. Игральная кость подбрасывается k раз. Пусть _i, – число очков, выпавших на i-ой игральной кости. Найти закон распределения случайных величин: а) ₁=max(₁, ₂,…, _k); б) ₂=min(₁, ₂,…, _k); в) ₃=max(4, ₁); г) ₃=min(4, ₁).

Указание: а) Воспользоваться равенствами P{₁=l}=P{₁l}–P{₁l–1}, , и

{₁l}={_il , }, P{₁l}=. б) вычислить P{₂>l}.

Ответ: а) , ; б) , ;

k	4	5	6
P{3= k}	2/3	1/6	1/6

k	1	2	3	4
P{4= k}	1/6	1/6	1/6	1/2

8. Случайные величины ₁, ₂ независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами ₁, ₂. Найти закон распределения с.в. =₁+₂. Указание: Воспользоваться равенством . Ответ: , =₁+₂.

9) Пусть , – случайные величины. Доказать,

а) если =a+b, где a, b–произвольные константы, то ,

б) .

10. Случайные величины ,  обладают конечными дисперсиями: D=, D=. Указать пределы, в которых может изменяться D(+). Ответ: (₁–₂)² D(+) (₁+₂)²

11. Доказать, что ковариация является линейной функцией своих аргументов, т.е. cov(₁+₂, )= cov(₁, )+ cov(₂, ), cov(, ₁+₂)= cov(, ₁)+ cov(, ₂).

12. Случайные величины , независимы, одинаково распределены и имеют дискретное распределение. P{=x_k}= P{=x_k}=p_k. Найти P{=}. Ответ: .

13. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	1
–2	0,2	0,1	0,2
1	0,1	0,2	0,2

Найти E₁₂, cov(₁, ₂), D(₁+ ₂). Ответ: 0,1; 0,15; 2,5.

14. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	3
0	1/3	1/6
2	1/4	1/4

Пусть =max(₁, ₂). Найти E₁₂, cov(₁, ₂), D(₁+ ₂), E, D. Ответ: 1; 1/3; 50/9.

15. Случайные величины ₁, ₂,…. Независимы и одинаково распределены P{_j=0}= P{_j=1}=1/2, j=1, 2,…, а _j=_j–_j+2, j=1, 2,…

a) Найти закон распределения случайных величин ₁, ₂,…. Показать, что при любом j=1,2,… случайные величины _j и _j+1 независимы.

б) Пусть _n=₁+₂+…+_n , n2. Найти E_n, D_n.

Ответ: а) P{_j=1}= P{_j= –1}=1/4, P{_j= 0}=1/2, j=1,2,….; б) E_n=0; D_n=1.

16. (Тождество Вальда). Пусть случайные величины ₁, ₂,… независимы и одинаково распределены, E|_k|<. Пусть s_=₁+₂+…+_, где –случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения с E<. Показать, что Es_=E₁E.

Указание: Воспользоваться задачей 8.17.

17. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя , элементы _i,j независимые случайные величины с E_i,j =0 и D_i,j =². Ответ: E=0, D=n! ²ⁿ.

18. Пусть ₁, ₂,…,_n– случайные величины такие, что E_j=0, D_j=1, j=. Доказать, если эти величины одинаково коррелированны, т.е. (_i, _j)=c при любых i, j{}, , то .

Указание: воспользоваться неотрицательностью дисперсии.