Семинар 8. ТВиМС1. 10.04.04

Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. I

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  называется число

,

дискретной случайной величины 

.

Пусть дискретная случайная величины  принимает значения x₁, x₂,…, тогда

.

Для действительной случайная величины  математическое ожидание называется k-м моментом, называется абсолютным моментом k-го порядка, –центральным моментом k-го порядка, – абсолютным центральный моментом k-го порядка, –факториальным моментом k-го порядка. Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается =. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением.

Смешанный центральный второй момент называется ковариацией случайных величин , . Коэффициентом корреляции ,  называется отношение .

Если =g() , то для вычисления применяются формулы

, .

Для независимых ₁,…, _n справедливо равенство

, , kl,

в общем случае

.

Свойства математического ожидания и дисперсии:

1. для любых ,  с конечными E и E

E(+)=E()+E();

2. для любого числа c

; ; ; ;

3. для любых независимых ,  с конечными E и E

.

Индикатором события A называется случайная величина _A=_A(), принимающая значение 1, если A, и 0, если A. Часто оказывается, что можно указать такие события A₁,…, A_n, что интересующая нас величина представляется в виде

.

Это удобно тем, что свойство аддитивности верно и для зависимых слагаемых. Таким образом

.

Задачи

1. Задан закон распределения с.в. P{= –1}=1/2, P{=2}=P{=3}=1/4. Найти E. Указание: воспользоваться определением. Ответ 3/4.

2. Трое магов, собравшись пообедать в трактире, положили свои волшебные палочки на стол. Однако им пришлось срочно покинуть трактир, каждый из них уходя взял палочку со стола случайно. Найти математическое ожидание случайной величины , равной палочек, попавших к своему волшебнику. Указание. Занумеруем палочки цифрами 1, 2, 3. Запись ₁₂₃ означает, что к i-му волшебнику попала палочка волшебника _i. Тогда ={123, 132, 213, 231, 312, 321}, (123)=3, (132)=(213)=(321)=1, (312)=( 231)=0. Ответ 1.

3. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных, по схеме случайного выбора без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина _i=1, если i-й шар белый, и _i=0, если i-й шар черный, i=1,2,3. а) Найти E₁, E₁₂, E₁₂₃. б) Найти математическое ожидание с.в. , равной числу белых шаров среди выбранных. Указание: а) E₁=P{₁=1}, E₁₂=P{₁₂=1}, E₁₂₃=P{₁₂₃=1}; б) =₁+₂+₃. Ответ: 2/5, 2/15, 1/30.

4. Известно, что случайные величины ,  независимы, причем

а) E=2, E=3. Найти E(3), E, E(+), E(3–2).

б) D=4, D=3. Найти D(3), D(–2), D(+), D(–). Ответ: а) 6; 6; 5; 0 ; б) 36, 12, 7, 7.

6. Известно, что E=1, E=2, E²=2, E²=8, E=1. Найти D, D, cov(, ), _, , D(+). Являются ли величины ,  независимыми. Ответ: 1; 4; –1; –0.5; зависимы; 4.

7. Дискретная случайная величина  принимает 3 возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁= 0,5; х₂=6 с вероятностью р₂= 0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃ , зная E=8. Ответ:

8. Пусть _n –число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Найти закон распределения _n, E _n, D_n. Указание: _i=1, если в i-м испытании успех, и _i=0, если неудача, . ₁, ₂,…,_n– независимые с.в. Тогда _n=₁+₂+…+_n. Ответ: np; np(1–p).

8. а) Случайные величины ₁, ₂,…. независимы и одинаково распределены: P{_j=1}= P{_j= –1}=1/4, P{_j= 0}=1/2, j=1,2,….Пусть =₁+…+_n. Найти E, D.

б) Пусть – сумма числа очков, выпавших при бросании n игральных костей. Найти Е, D.

Ответ: а) 0, n/2 ; б) n7/2, n35/12.

9. Найти E, D если: а) , ,– равномерное распределение;

б) , k=1,2…,– геометрическое с параметром p, 0<p<1;

в) k=0, 1,…, –распределение Пуассона с параметром >0.

Указание: Воспользоваться формулами а) ; б) , ; в) D=E(–1)+ E–( E)² , . Ответ: а) (n+1)/2, n(2n+1)/6 ; б) 1/p, (1– p)/p²; в) , .

10. Случайные величины ₁, ₂,…, _n и ₁, ₂,…,_n независимы. Положим , . Найти , , ,, , если , , , . Ответ: =na, =npa, =n², = np(²+a²q), =np².

11. Пусть случайные величины ₁, ₂,…, _n, n2, независимы, положительны и одинаково распределены. Показать, что . Найти . Указание: Рассмотреть n случайных величин , .

12. Привести пример случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.

13. Обозначим _r число циклов длины r в подстановке, случайно выбранной из множества всех n! подстановок степени n. Найти: а) E₁ , D₁; б) E_r, r1. Указание: а) Положить ₁=₁+₂+…+_n, где _i=1, если i i, и _i=0 –иначе, . Тогда ; б) Положить , где _ij=1, если ij i, и _ij==0 иначе. в) Написать формулу для _r аналогичную r=1 и r=2. Ответ: E_r=1/r, r1, D₁=1.

14. В Хогвартсе n учеников повесили свои мантии в гардеробе. В предположении, что мантии ученикам возвращаются случайно, найти математическое ожидание случайной величины , равной числу мантий, попавших к своим владельцам. Ответ: 1.

16. Сколько в среднем надо бросить игральную кость до появления шестерки? Ответ: 6.

15. Пусть урна содержит n шаров, занумерованных числами 1, 2,…,n и извлекают k шаров с возвращением. Обозначим ₀(k, n) число непоявившихся номеров шаров. Найти E₀(k, n). Вычислить , если k=n (>0 – некоторая постоянная). Указание: представить ₀(k, n) в виде суммы индикаторов. Ответ: .

17. Случайная величина  принимает только целые неотрицательные значения. Доказать, что .

18. Разъезжающий булочник продает за одну поездку в среднем 20 кексов. Найти вероятность того, что он продаст четное число кексов. (Предполагается, что число покупок распределено по закону Пуассона.) Указание: сложить 1=e^–e^, e^–2 = e^– e^– . Ответ: (1+ e^–2)/2, =20.

19. Пусть А₁, А₂,…–совокупность событий, _i–индикатор события А_i, i=1,2,.., и – число одновременно происходящих событий из А_i, i=1,2,... Доказать, что

.

Указание. Заметить, если , где все слагаемые принимают значения 0 и 1, то (обосновать).

20. а) В n ячеек независимо друг от друга брошено m частиц. Вероятность попадания любой частицы в k-ю ячейку равна p_k, .Обозначим ₀ число пустых ячеек. Найти E₀, D₀.

б) В n ячеек независимо друг от друга брошено m частиц. Вероятность попадания любой частицы в k-ю ячейку равна 1/n, .Обозначим ₀ число пустых ячеек. Найти E₀, D₀.

в) В группе учатся 25 студентов. Предполагая, что дни рождения студентов независимы и равномерно распределены по 12 месяцам года, найти математическое ожидание и дисперсию числа месяцев, на которые не приходится ни один день рождения.

Указание а) Положить ₀=₁+₂+…+_n, где _i=1, если i-я ячейка осталась пустой, и _i=0 –иначе, .;

Ответ: а) E₀=, .