Семинар 1. ТвиМС1. 14.02.04

1. Классическое определение вероятности

Вероятностное пространство есть тройка (,,P), где ={}– непустое множество, элементы  которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явления; – набор подмножеств множества , называемых событиями ( является -алгеброй, т.е. предполагается, что множество содержит  и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий в не более чем счетном числе); вероятность P– функция, определенная на событиях A и удовлетворяющая следующим условиям:

1. P{A}0 при любом A.

2. P{}=1.

3. , если A_iA_j= при любых ij.Здесь символ  обозначает пустое множество или невозможное событие.

Пусть ={₁,…,_n}. В -алгебру событий включаются все 2ⁿ подмножеств A={,…,} множества . В классическом определении вероятности полагают P(_j)=1/n, j=, поэтому вероятность события A ={,…,}равна отношению числа элементарных событий _j, входящих в A, к общему числу элементарных событий в :

.

Классическое определение вероятности является хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходы опыта являются в каком-то смысле симметричными, и поэтому представляется естественным предположение об их равновозможности.

Задачи

0. Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с разными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв. Ответ: 1/6⁵.

1. Брошены две одинаковые монеты. Найти вероятность того, что две монеты выпали разными сторонами. Подсказка: ={ГГ, РГ, ГР, РР}.Ответ: 1/2.

2. Брошено три монеты. Описать множество всех элементарных событий. Найти вероятности событий:

1. A={не выпало ни одного герба},

2. B={выпало четное число гербов},

3. С={на 3-й монете выпал герб}.

Ответ: P{A}=1/8, P{B}=P{C}=1/2.

3. Брошено две игральные кости. Описать множество элементарных событий. Найти вероятности событий:

1. A={выпало две «шестерки»},

2. B={сумма выпавших очков не меньше 11},

3. С={не выпала ни одна «шестерка»}.

Ответ: P{A}=1/36, P{B}=1/12, P{C}=25/36.

4. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3 вынимают по одному все три билета. Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает с собственным. Ответ: 2/3.

5. Из двух претендентов E и L на ответственную должность три члена комиссии должны отобрать одного. Каждый член комиссии должен указать одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятности событий:

1. A={рекомендован L},

2. B={рекомендован E}.

Подсказка: Каждый член комиссии принимает одно из трех решений: E–рекомендовать претендента E, L–рекомендовать претендента L, O–никого не рекомендовать. Решение комиссии можно записывать тройками, составленными из этих трех символов: OLE – 1-й член комиссии никого не рекомендовал, 2-й рекомендовал L, 3- рекомендовал E. Тогда ={EEE, LEE,…}. Ответ: P{A}= P{B}=7/27.

6. В ящике, содержащем n шаров, k синих шаров. Определить вероятность того, что среди выбранных случайно m шаров ровно r окажутся синими. Ответ: .

7. Из множества всех последовательностей длины n, состоящих из цифр 0, 1, 2 случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:

1. A={последовательность начинается с 0},

2. B={последовательность содержит ровно m+2 нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности}, 0mn–2,

3. C={последовательность содержит ровно m единиц}, 0mn,

4. D={последовательность содержит ровно m₀ нулей, m₁ единиц, m₂ двоек}, m₀+m₁+m₂=n.

Ответ: P{A}=1/3, P{B}=, P{C}=, P{D}=.

8. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т.е. все возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:

1. A={четыре туза расположены рядом},

2. B={места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7}.

Ответ: P{A}=1/1785 , P{B}=1/3927.

9. В ящике лежат красные и черные шары. Если из ящика случайно вытаскивают два шара, то вероятность того, что они оба красные, равна 1/2.

1. Каково минимально возможное число шаров в ящике?

2. Каково минимально возможное число шаров в ящике, если число черных шаров четное?

Ответ: a) 4, b) 21.

10. Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в теннисе, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец–чемпион–отец или чемпион–отец–чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему выбрать сыну? Ответ: вторая схема.

11. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение принимается большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью? Ответ: Оба типа жюри.

2