Семинар 7. ТВиМС1. 03.04.04

Случайные величины

Пусть задано вероятностное пространство (,,P).

Случайной величиной называется действительная функция от элементарного события =(), , для которой при любом действительном x множество {: ()x} принадлежит (т.е. является событием) и для него определена вероятность P{: ()x}, записываемая кратко P{x}. Эта вероятность, рассматриваемая как функция x, называется функцией распределения случайной величины  и обозначается F_(x), либо F(x).

С помощью функции распределения F(x) можно однозначно определить вероятность P{B} для борелевских множеств B на числовой прямой. Борелевскими множествами являются множества, полученные из интервалов с помощью счетного числа операций объединения, пересечения и взятия дополнения. Например, интервал (a, b), одноточечные множества {a} и множества вида (a, b], [a, b], [a, b) (a, b могут принимать и бесконечные значения) их конечные и счетные объединения.

Вероятность P{B}, рассматриваемая как функция от борелевского множества B, называется распределением вероятностей случайной величины , иногда законом распределения или просто распределением. В частности, .

Важным классом распределений вероятностей являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые плотностью вероятности _(x)=(x), т.е. такой неотрицательной функции (x), что для любого борелевского множества B

;

в общем случае рассматривается интеграл Лебега, который совпадает с интегралом Римана, если последний существует. В частности,

, , - <x<+, .

Дискретное распределение задается конечным или счетным набором вероятностей P{=x_k}, для которых . Функция распределения в этом случае ступенчатая и задается суммой .

Пусть случайная величина =g(). Тогда P{B}=P{g^–1(B)}, где g^–1(B)– прообраз борелевского множества B при отображении g. Если функция g(x) непрерывна и возрастает, то . Если еще g(x) дифференцируема и распределение  имеет плотность _(x), то распределение  имеет плотность

.

Замечание. Если функция g(x) в интервале возможных значения  не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция g(x) монотонна, и найти плотность распределения для каждого из интервалов монотонности, а затем представить как .

Если – дискретная случайная величина, то для определения вероятностей значений  следует сложить вероятности значений , при которых  принимает одинаковые значения.

Некоторые дискретные распределения: а) вырожденное P{= a}=1, a –постоянное; б) гипергеометрическое (параметры n, m, k, j) ; в) биномиальное (параметры n– натуральное, 0p1) ; г) геометрическое с параметром p, 0<p<1, , k=1,2…; д) пуассоновское с параметром >0 , k=0, 1, 2…

Некоторые непрерывные распределения: а) равномерное на отрезке [a, b], a< b, (x)=1/(b– a), если axb, (x)=0–иначе; б) показательное с параметром >0 , (x0), (x)=0–иначе.

Задачи

1. В лотерее имеется 10 билетов, из которых один выигрышный. Размер выигрыша 10 рублей; стоимость билета 1 рубль. Найти распределение случайной величины , равной чистому выигрышу участника лотереи, который вытаскивает билет первым. Указание. Для удобства будем считать, что билеты занумерованы и что билет 1– выигрышный. ={1, 2,…,10}. (1)=9, (j)= –1, j=. P{=9}=|{j: (j)=9}|/||, P{=–1}=|{j: (j)=–1}|/||. Ответ. P{=9}=1/10, P{= –1}=9/10.

2. Из ящика с 10 одинаковыми карточками, на которых написаны цифры 0, 1,…,9 два раза с возвращением вынимаются по одной карточке. Введем случайные величины: ₁– цифра на 1-й карточке, ₂– цифра на 2-й карточке, = ₁+₂. Найти распределение случайных величин ₁, ₂, . Найти вероятность события {2}. Нарисовать график функции распределения с.в. ₁. Указание. ={ (i, j): i, j =0, 1,…,9}. ₁(i, j)= ₁(i), ₂(i, j)= ₂(j), (i, j)= i+j. {=k}={(0, k), (1, k–1),…, (k, 0)}, 0k9; {=9+k}= {(k, 9), (k+1, 8),…, (9, k)}, 1k9. Ответ:P{₁=k}=P{₂=k}=0.1, P{=k}=(k+1)/100, 0k9, P{=k}=(10– k)/100, 1k9, P{2}=0.06.

3. В опыте, описанном в задаче 2, введем случайную величину , равную числу четных чисел на вынутых карточках. Величины ₁ и ₂ определим равенствами: ₁=1, если на 1-й карточке четная цифра, и ₁=0 в противном случае; ₂=1, если на 2-й карточке четная цифра, и ₂=0 в противном случае. Найти законы распределения ₁, ₂, . Проверить, что =₁+₂. Нарисовать график функции распределения с.в. .

Ответ: P{=0}=P{=2}=1/4, P{=1}=1/2, P{₁=0}=P{₂=0}=1/2.

4. Брошено две игральные кости. Найти закон распределения случайной величины , равной сумме выпавших очков. Найти вероятность событий: {4}, {>4}. Ответ: P{=k}=(k–1)/36, 2k7, P{=k}=(13–k)/36, k>7. P{4}=1/6.

5. Из урны, содержащей n шаров, среди которых m белых и n –m черных, извлекают k шаров. Определить закон распределения числа  белых шаров, среди выбранных по схеме случайного выбора а) без возвращения; б) с возвращением. а) гипергеометрическое распределение; б) .

6. а) Случайная величина принимает значения x₁= –1, x₂=0, x₃=1 с вероятностями c, 2c, 3c. Найти c.

б) Найти закон распределения случайной величины , если , n=1,2,….

в) Найти закон распределения случайной величины , если, n=1,2,…

Указание. . Ответ: c=1/6, c=1, c=4.

7. Для случайной величины , имеющей а) геометрическое распределение вероятностей, найти P{k} (воспользоваться геометрической прогрессией); б) пуассоновское распределение, найти P{>0}; в) биномиальное распределение с n=5, p=1/3 , найти P{24}. Ответ: (1–p)^k–1; 1–e^–, 130/243.

8. Дискретная случайная величина  задана законом распределения P{= –1}=0.3; P{= –2}=0.1, P{= 1}=0.2, P{= 2}=0.4, найти закон распределения случайной величины =². Ответ: P{=1}= P{=4}=1/2.

9. Задана плотность распределения _(x) случайной величины , принимающей значения из (0, +). Найти плотность распределения _(x) случайной величины , если а) =e^{– }; б) =ln(); в) =³ ; г) =1/²; д) =.

Ответ: а) _(x)=(1/x) _(ln(1/x)), 0<x<1; б) _(x)=, (–<x<+); в) _(x)=, (0<x<+); г) _(x)=, (0<x<+); д) _(x)= , (0<x<+).

10. Задана плотность распределения _(x) случайной величины , принимающей значения из (–, +). Найти плотность распределения _(x) случайной величины , если а) =²; б) =; в) =||; г) =1/(1+²).

Ответ: а) , (0<x<+); б) , (0<x<1); в) , (0<x<+); г) , (0<x<1).

11. На квадрат ={(u, v): | u| 1, | v | 1} брошена точка. Определим случайные величины , , :

, ,

Найти: а) вероятность событий P{>0}, P{=1}, P{>1}; б) функцию распределения и плотность распределения с.в. ; в) закон распределения с.в. .

Ответ: P{>0}=1/2, P{=1}=/16, P{>1}=1–/4, F_(x)= (x+1)/2, _(x)=1/2, –1x1.

12. Плотность распределения с.в.  задана формулой

Найти: а) постоянную c; б) плотность распределения ; в) P{0.1<<0.2}.

Ответ: c =1/2, _(x)=, 0<x1, .

13. Построить пример такого абсолютно непрерывного распределения случайной величины , задаваемого плотностью распределения _(x), и такое непрерывной функции g(x), что распределение случайной величины =g() не вырождено и дискретно.

14. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром : P{x}=1–e^x (x0). Найти плотности распределения случайных величин: a) ; б) ; в) ; г) , {z}–дробная часть числа z; д) .

Ответ: (x>0); (x>0); (–<x<+); 0x1; 1 (x[0,1]).

15. Случайная величина  равномерно распределена на [0,1]. Найти плотность распределения случайных величин: a) ; б) ; в) .

Ответ: 1/2 (x[1,3]); e^–x (x>0); (–<x<+).

16. Случайная точка B имеет равномерное распределение на окружности x²+(y–a)²=r² с центром в точке A=(0, a), а случайная точка C=(, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через A и B. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины . (Распределение  называется распределением Коши). Ответ: , (–<x<+).

Пусть V_n– n-мерное векторное пространство над полем из двух элементов GF(2). Операцию сложения в GF(2) будем обозначать . Вектор a=(a₁,…, a_n) будем отождествлять с числом . Весом Хэмминга w(a) называется число ненулевых компонент вектора a.

17. Пусть a, b– случайные независимые векторы с равномерным распределением на V_n, c=a+b (mod 2ⁿ).

Доказать, что , .

18. Пусть компоненты случайного вектора aV_n являются независимыми случайными величинами, P{a_i=0}=q_i, . Доказать, что .

19. Задача к зачету. Описать алгебру и -алгебру множеств на =[0,1], порожденную: а) интервалами (0, 1/3) и (1/3, 1); б) полуинтервалами вида (a, 1], 0<a<1; в) отдельными точками.

Комментарий к задаче 4.17. Указание. Пусть a₁,…, a_n–покупатели с деньгами пятирублевого достоинства, b₁,…, b_m–десятирублевого, причем из номера соответствуют порядку в очереди. Событие A_k–состоит в том, что придется ждать сдачу только из-за покупателя b_k (k=). Тогда p==.

20.(Это можно не делать) Сообщение, записанное в алфавите

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЬЫЭЮЯ

зашифровывается при помощи последовательности букв этого же алфавита. Длина последовательности равна длине сообщения. Шифрование каждой буквы исходного сообщения состоит в сложении ее порядкового номера в алфавите с порядковым номером соответствующей буквы шифрующей последовательности и замене такой суммы на букву алфавита, порядковый номер которой имеет тот же остаток от деления на 30, что и эта сумма.

Восстановите два исходных сообщения, каждое из которых содержит слово КОРАБЛИ, если результат их зашифрования при помощи одной и той же шифрующей последовательности известен:

ЮПТЦАРГШАЛЖЖЕВЦЩЫРВУУ и ЮПЯТБНЩМСДТЛЖГПСГХСЦЦ