Решения / 9 семинар

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (1 из 9)

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (2 из 9)

1. Случайная величина  задана функцией распределения:

Найти E, D. Ответ: 3a/2, 3a²/4.

Решение:

2. Случайная величина  имеет показательное распределение (_(x)= при x0, 0 при x <0). Найти а) функцию распределения; б) P{^–1<<2^–1}; в) E, D. Ответ: 1–e^–x при x0, (1–e^–1)e^–1 , 1/, 1/².

Решение:

а)

б)

в)

3. Плотность распределения с.в.  имеет вид _(x)=c(x² +x+1), если 0x1, и _(x)=0 –иначе. Найти E, D. Ответ: 13/22, 189/2420.

Решение:

,

4. Найти E, D случайной величины , равномерно распределенной на [a, b]. Ответ: (a+b)/2; (b– a)²/12.

Решение:

5. Найти E, D случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами a и ² (, –<x<+).

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (3 из 9)

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (4 из 9)

Указание: замена переменных y=(x–a)/, и, . Ответ: a, ².

Решение:

Замена:

6. Случайная величина  равномерно распределена на [0,1]. Найти E³. Ответ: 1/4.

Решение:

7. Плотность распределения с.в.  имеет вид _(x)=2x, если 0<x<1, 0– иначе. Найти E⁵ , D⁵. Ответ: 2/7, 25/294.

Решение:

8. Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами a=0 и ²=1. Найти а) E||; б) E^k, k=1,2,… Указание: Вывести рекуррентную формулу для E^k, используя интегрирование по частям . Ответ: , E^2k–1=0, E^2k=13…(2k–1).

Решение:

;

9. Плотность распределения с.в.  имеет вид _(x)= в интервале (–c, c), _(x)=0 вне интервала. Найти E, D. Указание: замена x=csin t. Ответ: 0, c²/2.

Решение:

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (5 из 9)

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (6 из 9)

10. Плотность распределения с.в.  имеет вид _(x)=xⁿe^–x/n! при x0, _(x)=0 при x<0. Найти E, D. Указание: – гамма функция, , n–натуральное. Ответ: n+1, n+1.

Решение:

, , ,

11. Пусть x– непрерывная случайная величина с плотность распределения r_x(x) на отрезке [a, b], r_x(x)=0 вне отрезка. Доказать, что a£Ex£b.

Решение:

-непр.сл.в.

Док-ть:

12. Случайная величина x имеет конечный второй момент Ex². Найти и то значение x, при котором этот минимум достигается. Указание: Воспользоваться равенством (доказав его) E(x–x)²= E(x–Ex)²+(x–Ex)². Ответ: = Dx= E(x–Ex)².

Решение:

13. Будем говорить, что случайная величина сосредоточенна на отрезке [a, b], если P{a£x£b}=1 и при любом e>0

P{a£x<a+e}>0, P{b–e<x£ b}>0.

Доказать, что дисперсия случайной величины, сосредоточенной на отрезке длины l, не превосходит l²/4.

Указание: Пусть P{a£x£b}=1, b– a=l. Воспользоваться тем, что Dx£ (зад. 12).

Решение:

Треб док-ть:

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (7 из 9)

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (8 из 9)

14. Показать, если x– действительная случайная величина с конечным математическим ожиданием и f(x) – функция, выпуклая вниз, то , а если f(x) выпукла вверх, то . Указание: Воспользоваться тем, что выпуклая вниз функция f(x) удовлетворяет неравенству , –¥<x< ¥+ , где .

Решение:

Нет решения

15. Случайные величины x и h имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что при любом характере зависимости между x и h выполняется неравенство . Указание: Вычислить E|x– 1/2| и E|h– 1/2| воспользоваться неравенством |x–y |£| x|+|y |.

Решение:

16. Показать, что для любых случайных величин x₁,…, x_k с конечными r-ми (r³1) моментами справедливо соотношение

.

Указание: Использовать выпуклость вниз функции f(x)=| x|^r и зад. 14.

Решение:

17. Из урны, содержащей m белых и n–m черных шаров c возвращением извлекают b шаров. Пусть с.в. x– число белых шаров среди извлеченных. Найти Ex, Dx. Ответ: ,

Решение:

m-белых, (n-m)-черных, b шаров извл с возвр, -число бел шар

18. Из урны, содержащей m белых и n–m черных шаров без возвращения извлекают b шаров. Пусть с.в. x– число белых шаров среди извлеченных. Найти Ex, Dx. Указание: Случайная величина h_i=1, если i-й шар белый, и h_i=0, если i-й шар черный. x=h₁+…+h_b. (проверить) Dh_j=, . Ответ: , .

Семинар №9 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. II» (9 из 9)

Решение:

m-белых, (n-m)-черных, b шаров извл без возвр, -число бел шар

;