5.Коэф-т детерминации. Скорректирован. Коэф-т детерминации.

Вариации Σ(y_t-ў)² (TSS) м.разбить на 2 части: об-ъяснённую ур-ем регрессии: Σ(ŷ _t - ў)² (RSS) и необъс-ю(связ.с ошибками): Σ(y_t -ŷ)²(ESS).

Тогда Σ(y_t-ў)²=Σ(y_t -ŷ)²+ Σ(ŷ_t-ў)²

TSS – общ.сумма квадратов (мера разброса отн-но своего среднего), ESS – остаточ.необъяснен.сумма квадратов, RSS – объяснен.часть диспер-ии.

Коэф-т детер-ии

R2= RSS/TSS=1- ESS/TSS=1-∑et ² / Σ(y_t-ў)²

R² показ-ет к-ю часть дисперсии энд-й пер-й у отн-но своего среднего ў удается объяс-ть колебаниями экзог-ых пер-ых.

Если R²=0, то ур-е регр-и не улуч-ет кач-во предск-й y_t(плох.модель).

Если R²=1–точ.подгонка, все наши набл-я лежат на линии рнгрессии.

Замечания: R² возр-ет при добав-и ещё 1-го регрессора. R² измен-ся даже при простейш. преобр-и завис.перем-ой.

С целью компен-и роста коэф-та детерминации исп-ют скоррект-й к-т детерминации:

R²adj =1-(ESS/(n-k))/(TSS/(n-1)).

Сво-ва R²adj:

1.R²adj=1-(1- R²) (n-1)/(n-k)

2. R²>= R²adj , k>1

3. R²adj<=1

При бол. R² либо отдел.коэф-ты незначимы, либо ур-ие незначимо.

6. Проверка стат. Гипотез. Доверит. Интервалы.

1) H₀: _i=0 – i-ый фактор не оказ-ет сущест-го влиян-я на незав-ю переем-ю, т.е. i-ый элемент стат-ки не знач. H₁: _i0, _i –найден. оценка;

Для проверки исп-ся t-критерий Стьюдента:

t=(ˆi)/Sˆi ~ t(n-k), S_I –стандартное отклонение. (имеет распред-ие). H₀ отклоняется на уровне значимости альфа, если вычисленная статистика |t|>t_C . => можно утвер-ть о знач-ти коэф-та рег-ии, т.е. наличии связи м/у X и Y. Предположим, что гипотеза H₀ – верна, тогда значение t_C на 5% уровне значимости есть величина t_C =2,056, тогда вер-ть того, что: p{- t_C<(ˆ_i)/ S_{ˆ i} < t_C } = 0,95.

Множ-во, определяемое выражением ˆ_i-t_C*S_ˆI<t<ˆ_i+t_C*S_ˆI наз. областью принятия гипотезы. Наиболее часто – опр-ть знач-ть коэф-та _i: H₀: _i=0, H₁: _i0.Тогда t=ˆ_i/S_ˆI. Значение |t|>t_C позволяет делать вывод о том, что существует связь м/ду x_i и y. Малое значение говорит о том, что нет такой связи. Мн-во значений, определяемое интервалом [ˆ_i-t_C*S_ˆI ; ˆ_i+t_C*S_ˆI] наз. доверительным интервалом. Дов. инт-л дает интерв.оценку пар-рам, т.е. диапазон зн-ий, к-й б. включать истин. значение пар-ра с высокой, заранее опред-ой вер-тью 99% либо 95%.

2) H₀: ₂ = ₃ =…= _к =0. Проверяем значимость всех коэф-тов (их одновр. рав-ве) регрессии. Для проверки гипотезы используется F-статистика, гипотеза имеет распределение Фишера:

F= (R²/(к-1))/((1- R²)/(n-k))=(RSS/ESS)*(n-k)/(k-1) ~F(k-1,n-k)

Гипотеза отвергается на задан.уровне альфа, если: F>Fc,

Fc=Fα(k-1,n-k)

3) Гипотеза об улучшении качества уравнений регрессии. Провер-ся гипотеза вида: H₀: _k+1=_k+2=…=_м=0. Провер-ся знач-ть отдел.коэф-тов регр-ии. Предположим, что сначала оцен-ся регр-ия с к-пер-ми иобъяснен.суммой квадратов RSS_k, затем добавл-ся еще неск-ко перм-ных до m и RSS_m. Т.о. мы объяснили некотор.допол.вел-ну RSS_m-RSS_k. Следует выяснить, превышает ли доп. увеличение то, кот. м. б. получено случайно. Соответвующая F-ст-ка имеет вид:

F=((ESS_k-ESS_m)/(m-k))/(ESS_m /(n-m))= ((R²_m- R²_k)/(m-k))/( (1-R²_m)/(n-m))

4)Тест Чоу. Предполагаем, что имеем 2 выборки данных. По каждой из них строится регрессионная модель:

A: y_t = β′₁ x_t1+β′₂x_t2+…+β′_kx_tk+ε_t′ , t=1,n

B: y_t = β′′₁ x_t1+β′′₂x_t2+…+β′′_kx_tk+ε_t′′ , t=n­­­+1,n+m

Нул. гипотеза H₀: β′= β′′, σ′= σ′′ формул-ся след. образом: верно ли, что модели совпадают и их следует объединить в одну? ESS_R=ESS_A+ESS_B

ESS_R – сумма квадратов остатков в объединен.регр-ии t=1,m+n. В общ.случае при раздел-ии выборки будет набл-ся улучш-ие кач-ва ур-ия, что м.предст-ть как разн-ть: ESS_R-ESS_A-ESS_B,к-ая иллюст-т улучш-ие кач-ва модели. Рассчитывается Fст-ка. H₀ отвергается на ур. знач. альфа, если:

т.е. нельзя объединять 2 выборки в одну.

В противном случае гипотеза о совпадении моделей для обеих выборок не отклоняется, т.е. влияние качественного признака на исследуемую выборку несущественно и их можно объединить в одну.