24. Стационарные вр. Модель авторегрессии.

Модель авторегрессии (AR(1)) представляется следующим образом: , где – нормально распределенные случ-ные величины с нулевым средним и постоянной дисперсией , – нек-ая случ-ая величина, – постоянный коэффициент.

Ряд является стационарным если:

• ;

• ;

• ;

• случайная величина не коррелирована со случайными ошибками .

При этом .

Данная модель порождает стационарный временной ряд с нулевым математическим ожиданием.

Процесс авторегрессии порядка (AR(р)) описывается выражением

, ,

где – случайные ошибки, .

Используя оператор лага, который определяется соотношением , процесс AR(p) можно записать следующим образом:

a(L)(Xt-M)= или +b, где и b = a(L)M= Ma(1) . Т.обр. мат ожид-е М=b/(1-a₁…-a_p).

При 0<a<1 коррел-ма отраж-ет убыв-е коррел-ии с возраст-ем интервала м/у наблюд-ми. При -1<a<0 коррел-ма имеет хар-р затух. косинусоиды.

Для того чтобы этот процесс был стационарен, все корни алгебраического уравнения должны лежать вне единичного круга .

25.Стационарные вр. Модель скользящего среднего.

Процесс скользящего среднего порядка q MA (q) опис-ся следующим соотношением: , , - процесс булого шума (при q=0 мат. ожид.=0).

Если q=1, то получаем процесс скользящего среднего первого порядка: . Мат. ожитд-е

Этот процесс является стационарным с , k>1

и

Если b>0, динамика ВР будет меньше пересекать ось X. Если b<0- то чаще. Модель МА(q) кратко можно записать: Xt – μ = b(L) , где b(L)=1+b₁L+…+b_qL^q , γ(k)=E[(Xt – μ)(Xt-1 – μ)]

Такие временные ряды соответствуют ситуации, когда некоторый экономический показатель находится в равновесии, но отклоняется от равновесия в силу последовательно возникающих непредсказуемых событий, причем влияние этих событий отмечается на протяжении некоторого промежутка времени.

26.Смешанные процессы авторегрессии и скользящего среднего.

Процесс Xt с мат. ожид-ем, принадл-ий такому классу проц., хар-ся pи q и обознач-ся как процесс ARMA(p,q). Более точно процесс Xt с нул-ым мат. ожид. принадл. этомы классу, если , a_p≠0, b_p≠0, где - процесс белого шума и b0=1. В аператорной форме: a(L)Xt=b(L) . Если проц. имеет постоян. мат. ожид-е, то он явл-ся процессом типа ARMA(p,q).

Свойства процесса: 1)проц. явл-ся стац., если все корни ур-я a(z)=0 лежат вне удин-ого круга |z|≤0. 2) если этот проц. стац., то сущ-ет экуив. ему проц. MA(∞): Xt – μ = , C0=1, , C(z)= . 3)если все корни ур-я b(z)=0 лежат вне удин-го круга (усл-е обрат-ти), то сущ-ет эквив. представ-е проц. Xt в виде авторегрессии бескон. порядка AR(∞): Xt – μ = , где d(z)=1- . => стац. проц. ARMA(p,q) всегда можно апроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высоким порядком, а в случ. обратимости – можно опред-ть авторег-ю высокого порядка.