Семинары / Семинар 5

Семинар 5. ТВиМС1. Формула полной вероятности. Формула Байеса

События B₁,…, B_n образуют полную группу событий, если B₁,…, B_n попарно несовместны и P{B₁}+…+P{B_n}=1. Для любого события A имеем

(формула полной вероятности) и

,

(формула Байса).

Задачи

1. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый состав – 2 белых и 1 черный, а в четвертой урне–один белый и один черный шар. Из случайно выбранной урны случайно вынимается шар. Найти вероятность того, что а) этот шар–белый. б) была выбрана урна с составом шаров «2 белых и 1 черный», если известно, что вынутый шар оказался белым.

Указание. В качестве гипотез можно выбрать состав шаров выбранной урны:

B₁={в выбранной урне 2 белых и 1 черный шар},

B₂={в выбранной урне 1 белый и 1 черный шар},

A={вынут белый шар}.

Найти P{A|B₁}=2/3, P{A|B₂}=1/2, P{B₁}=3/4, P{B₂}=1/4. Ответ: P{A}=5/8, P{B₁|A}=4/5.

2. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь белый шар, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны.

Указание. Гипотеза H_k– в урне k белых шаров (k=), A={вынут белый шар}. Ответ: .

3. В тире имеются 5 ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей случайно. Ответ: 0,7.

4. В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во второй– 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из урны, окажется белым. Ответ: 0,36

5. Из урны, содержащей m белых и n–m черных шаров, утеряно r шаров. Сравнить вероятности извлечения белого шара а) до утери; б) после утери при r =1; в) после утери при r>1.Указание в), .Ответ: а),б),в) m/n.

6. В двух урнах находится соответственно m₁ и m₂ белых и n₁ и n₂ черных. Из каждой урны случайно извлекается один шар, а затем из этих двух шаров случайно берется один. Какова вероятность, что этот шар белый? Указание: H₁– среди извлеченных шаров нет белых, H₂– один белый, H₃– оба белых. Ответ: .

7. Посох волшебника может принадлежать к одному из трех типов магий (черной, белой и смешанной) с вероятностями p₁=p₃=0,25 и p₂=0,5. Вероятность того, что посох израсходует данное ему количество магической силы, соответственно равна 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что посох израсходует данное ему количество магической силы. Ответ: 0,225.

8. Вероятность обнаружения приведений в старинном замке равна 0,8. Вероятность принять замок без приведений за замок с приведениями равна 0,05. Известно, что доля старинных замков с приведениями равна 0,05. Найти условную вероятность, что в замок нет приведений, если он был признан замком с приведениями. Указание: H₁–в замке есть приведения, H₂–замок без приведений, А–замок с приведениями. Ответ: 19/35.

9.Долговременная практика рекламирования новых видов амулетов показала, что после проведения рекламной компании 5% эльфов и 10% людей желали бы приобрести новый вид кольца удачи, а остальные покупают прежние неусовершенствованные кольца. Число эльфов и людей в городе Приграничном соотносятся как 4:6 и все они покупают магические кольца-амулеты. Какова вероятность, что случайно выбранный покупатель, приобретший новый вид кольца удачи будет человеком. Ответ: 3/4.

10. Имеются n урн, в каждой из которых по m белых и по k черных шаров. Из первой урны случайно извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны случайно извлекается шар и перекладывается в третью урну и.т.д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны. Указание: –из j-й извлекается белый шар, –из j-й извлекается черный шар. Найти P{}, P{}, P{}, P{}. Применить метод математической индукции, положив P{}=, P{}=. Ответ: .

11. В объединенной армии темных сил 70% вампиров и 30% горгулий. Среди вампиров 10% титулованных особ, а среди горгулий– 5% титулованных особ. Все титулованные особы по очереди каждый вечер дежурят по армии. Найти вероятность, что в случайно выбранный день дежурит вампир. Ответ: 14/170,823.

12. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв ААА, ВВВ, ССС с равными вероятностями. При передаче каждая буква независимо от остальных принимается правильно с вероятностью p, и принимается ошибочно за каждую из двух других с вероятностью q. Найти вероятность того, что было передано ААА, если принято ВАА. Указание: –j-я буква искажена, –j-я буква неискаженна, P{AAA| BAA}=0,20,80,8. Ответ: 16/21.

13. По каналу связи передается одна из последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями p₁, p₂, p₃ (p₁+ p₂+ p₃=1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью  и с вероятностями и принимается за две другие буквы. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано АААА, если принято ABCA. Ответ: .

14. При секретном сканировании местности со спутника вероятность обнаружить существо внеземного происхождения равна 1–. Вероятность принять человека за инопланетянина равна . Доля пришельцев по отношению ко всему населению Земли равна . а) Найти условную вероятность, что человек землянин, если он был признан пришельцем при сканировании. б) Вычислить условную вероятность при следующих числовых значениях 1–=0,9; =0,01; =0,01. Ответ: .

15. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появлений события А: при однократном появлении события А эта вероятность равна 0,1; при двукратном– 0,3; при трехкратном– 0,7; если событие А не имело место ни разу, то событие B невозможно. Определить наивероятнейшее число появлений события А, если событие B имело место. Ответ: 1.

16. В вольном магическом сообществе n чародеев, из которых n_k (k=1, 2, 3) магов изучают искусство гипноза k-й год. Среди двух случайно выбранных чародеев оказалось, что один из них изучает гипноз дольше второго. Какова вероятность, что маг учится этому третий год. Указание. Гипотезы: Н₁– первый маг изучает гипноз первый год, Н₂– второй год. События: A– второй маг изучает гипноз дольше первого, B– второй маг изучает гипноз третий год. , . Ответ: .

17. Отмеченный шар с вероятностями p и 1– p может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь, отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна q. Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну. Указание: H₁–шар находится в первой урне, H₂–во второй, A– извлечение отмеченного шара. Получить и найти максимум, дифференцируя по m. Ответ: .

18. Для поисков пропавшего самолета выделено 10 вертолетов, каждый из которых может быть использован для поисков в одном из двух возможных районов, где самолет может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует распределить вертолеты по районам поисков, чтобы вероятность обнаружения была наибольшей, если каждый вертолет обнаруживает находящийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,2, а поиски осуществляются каждым вертолетом независимо от других? Найти вероятность p обнаружения самолета при оптимальной процедуре поиска. Указание. Аналогично 17. Ответ: в первый район–8 самолетов, p0,74.